Use os critérios vistos em sala para determinar se a série a seguir é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar os critérios de convergência de séries que aprendemos em sala, como o Teste da Razão. Vamos precisar manipular as expressões exponenciais e entender como aplicar o teste para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. A série é dada por:
Vamos reescrever cada termo com as potências de forma mais clara:
Simplificando:
Mas percebemos que , então:
Agora, calculando as constantes:
Então:
Podemos reescrever a expressão para destacar a base das potências:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 3
Agora que simplificamos a expressão geral da série para:
Perceba que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
onde é a constante inicial e é a razão da série.
Para uma série geométrica, sabemos que ela converge se e diverge se .
Passo 4
Vamos identificar o valor de na nossa série:
Calculando o valor absoluto:
Como 1,225 > 1, de acordo com o Teste da Razão para séries geométricas, nossa série não converge.
Resposta
A série sumn=1^infty 2^-3n cdot 5^-n+1 cdot 7^2n+2diverge.