Use os critérios vistos em sala para determinar se a série a seguir é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 2^-3 n cdot 5^-n+1 cdot 7^2 n+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série sumn=1^infty 2^-3n cdot 5^-n+1 cdot 7^2n+2 é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar os critérios de convergência de séries que aprendemos em sala, como o Teste da Razão. Vamos precisar manipular as expressões exponenciais e entender como aplicar o teste para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. A série é dada por:
an = 2^-3n cdot 5^-n+1 cdot 7^2n+2
Vamos reescrever cada termo com as potências de forma mais clara:
an = 12^3n cdot 5^15^n cdot 7^2n cdot 7^2
Simplificando:
an = 5 cdot 7^22^3n cdot 5^n cdot 7^-2n
Mas percebemos que 7^2n = (7^2)^n = 49^n, então:
an = 5 cdot 49^n cdot 7^2 cdot 12^3n cdot 5^n
Agora, calculando as constantes:
5 cdot 7^2 = 5 cdot 49 = 245
Então:
an = 245 cdot 49^n2^3n cdot 5^n
Podemos reescrever a expressão para destacar a base das potências:
an = 245 cdot ( 492^3 cdot 5 )^n
Calculando o denominador:
2^3 cdot 5 = 8 cdot 5 = 40
Então:
an = 245 cdot ( 4940 )^n

Passo 3

Agora que simplificamos a expressão geral da série para:
an = 245 cdot ( 4940 )^n
Perceba que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
sumn=1^infty ar^n
onde a é a constante inicial e r é a razão da série.
Para uma série geométrica, sabemos que ela converge se |r| < 1 e diverge se |r| >= 1.

Passo 4

Vamos identificar o valor de r na nossa série:
r = 4940
Calculando o valor absoluto:
|r| = | 4940 | = 1,225
Como 1,225 > 1, de acordo com o Teste da Razão para séries geométricas, nossa série não converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 2^-3n cdot 5^-n+1 cdot 7^2n+2 diverge.

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