Use a definição de derivada e calcule
e
para as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular a primeira e a segunda derivada da função usando a definição de derivada. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, onde a gente aprende como encontrar taxas de variação e inclinações de curvas. Para isso, vamos precisar entender a definição de derivada e aplicar ela passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada de uma função. A derivada de
, denotada por
, é o limite:
Vamos aplicar isso à nossa função :
Agora, usamos a identidade trigonométrica para :
Substituindo na expressão da derivada:
Simplificando:
Sabemos que:
Então:
Passo 3
Agora que temos a primeira derivada
, vamos encontrar a segunda derivada
. Isso significa que vamos derivar
usando a mesma definição de derivada.
Usando a identidade trigonométrica para
:
Substituindo na expressão da segunda derivada:
Simplificando:
Usando novamente que:
Então:
Resposta
A primeira derivada de é:
E a segunda derivada é: