Use a definição de derivada e calcule f^prime(x) e f^prime prime(x) para as seguintes funções:
f(x)=sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular a primeira e a segunda derivada da função usando a definição de derivada. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, onde a gente aprende como encontrar taxas de variação e inclinações de curvas. Para isso, vamos precisar entender a definição de derivada e aplicar ela passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada de uma função. A derivada de f'(x) = limh to 0 f(x+h) - f(x)h , denotada por f'(x) = limh to 0 sen(x+h) - sen(x)h , é o limite:
sen(x+h) = sen(x)cos(h) + cos(x)sen(h)
Vamos aplicar isso à nossa função :
Agora, usamos a identidade trigonométrica para :
Substituindo na expressão da derivada:
Simplificando:
Sabemos que:
Então:

Passo 3

Agora que temos a primeira derivada f''(x) = limh to 0 f'(x+h) - f'(x)h = limh to 0 cos(x+h) - cos(x)h , vamos encontrar a segunda derivada cos(x+h) = cos(x)cos(h) - sen(x)sen(h) . Isso significa que vamos derivar f''(x) = limh to 0 cos(x)cos(h) - sen(x)sen(h) - cos(x)h usando a mesma definição de derivada.
f''(x) = limh to 0 [ cos(x)cos(h) - 1h - sen(x)sen(h)h ]
Usando a identidade trigonométrica para limh to 0 sen(h)h = 1 e limh to 0 cos(h) - 1h = 0 :
Substituindo na expressão da segunda derivada:
Simplificando:
Usando novamente que:
Então:

Resposta

A primeira derivada de é:
f'(x) = cos(x)
E a segunda derivada é:

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