Use a definição para determinar a transformada de Laplace da função dada.
\cos 2 t

Passo 1

O enunciado dá a função f(t)=\cos 2t (definida para t\ge 0) e pede: usar a definição para determinar a transformada de Laplace dessa função.
Informações importantes fornecidas:
  • A função é f(t)=\cos 2t.
  • Quer-se a transformada de Laplace obtida pela definição integral da transformada (isto é, sem recorrer apenas à tabela pronta).

Passo 2

Recordando a definição que vamos usar (com explicação didática): a transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é um número complexo e a integral deve convergir. Para funções trigonométricas como \cos 2t a integral converge quando \Re(s)>0 (para s real isto equivale a s>0). Vou explicitar isso quando for avaliar os limites.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso f(t)=\cos 2t, escrevemos a integral que precisamos calcular:
I(s)=\mathcal{L}\{\cos 2t\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos 2t\,dt.
O objetivo é calcular explicitamente essa integral como função de s.

Passo 4

Vamos calcular I(s) por integração por partes (método elementar e direto). Lembre que a fórmula da integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são funções escolhidas de maneira conveniente.
Escolho para a primeira aplicação:
u=\cos 2t,\qquad dv=e^{-st}dt.
Então
du=-2\sin 2t\,dt,\qquad v=-\frac{e^{-st}}{s}.
Aplicando a fórmula, obtemos
I(s)=\left[\cos 2t\left(-\frac{e^{-st}}{s}\right)\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{e^{-st}}{s}\right)(-2\sin 2t)\,dt.
Agora avaliamos o termo de fronteira e simplificamos o integrando.

Passo 5

Avaliação do termo de fronteira: considerar \lim_{T\to\infty}\!-\dfrac{e^{-sT}}{s}\cos 2T. Como e^{-sT}\to 0 quando \Re(s)>0, esse limite vale 0. No extremo inferior ( t=0) temos -\dfrac{e^{-s\cdot0}}{s}\cos 0=-\dfrac{1}{s}. Fazendo a diferença (limite superior menos inferior) obtemos o termo de fronteira igual a 1/s. Para o integral restante, simplificando sinais:
I(s)=\frac{1}{s}-\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin 2t\,dt.
Definimos
J(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin 2t\,dt,
para escrever de forma compacta
I(s)=\frac{1}{s}-\frac{2}{s}J(s).

Passo 6

Calculamos J(s) também por integração por partes (mesma ideia). Escolha:
u=\sin 2t,\qquad dv=e^{-st}dt.
Então
du=2\cos 2t\,dt,\qquad v=-\frac{e^{-st}}{s}.
Aplicando integração por partes:
J(s)=\left[\sin 2t\left(-\frac{e^{-st}}{s}\right)\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{e^{-st}}{s}\right)(2\cos 2t)\,dt.
O termo de fronteira novamente é zero em \infty (porque e^{-st}\to0 para \Re(s)>0) e em 0 temos \sin 0=0, então o termo de fronteira é 0. O integral restante fica
J(s)=\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos 2t\,dt=\frac{2}{s}I(s).

Passo 7

Voltando para a relação obtida no Passo 5, substituímos J(s)=\dfrac{2}{s}I(s):
I(s)=\frac{1}{s}-\frac{2}{s}\cdot\frac{2}{s}I(s)=\frac{1}{s}-\frac{4}{s^{2}}I(s).
Agora resolvemos esta equação algébrica para I(s). Reorganizando:
I(s)\left(1+\frac{4}{s^{2}}\right)=\frac{1}{s}.
Multiplicando numerador e denominador convenientemente:
I(s)=\frac{1/s}{1+4/s^{2}}=\frac{1/s}{(s^{2}+4)/s^{2}}=\frac{s}{s^{2}+4}.

Passo 8

Condição de existência: durante o cálculo usamos que os termos do tipo e^{-st} tendem a zero quando t\to\infty, portanto a integral converge para \Re(s)>0. Assim a expressão final vale nessa região de s.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\cos 2t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+4},\quad \Re(s)>0

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