Use a definição para determinar a transformada de Laplace da função dada.
Passo 1
O enunciado dá a função
(definida para
) e pede: usar a definição para determinar a transformada de Laplace dessa função.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A função é
. - Quer-se a transformada de Laplace obtida pela definição integral da transformada (isto é, sem recorrer apenas à tabela pronta).
Passo 2
Recordando a definição que vamos usar (com explicação didática): a transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é um número complexo e a integral deve convergir. Para funções trigonométricas como
a integral converge quando
(para
real isto equivale a
). Vou explicitar isso quando for avaliar os limites.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso
, escrevemos a integral que precisamos calcular:
O objetivo é calcular explicitamente essa integral como função de
.
Passo 4
Vamos calcular
por integração por partes (método elementar e direto). Lembre que a fórmula da integração por partes é
onde
e
são funções escolhidas de maneira conveniente.
Escolho para a primeira aplicação:
Então
Aplicando a fórmula, obtemos
Agora avaliamos o termo de fronteira e simplificamos o integrando.
Passo 5
Avaliação do termo de fronteira: considerar
. Como
quando
, esse limite vale
. No extremo inferior (
) temos
. Fazendo a diferença (limite superior menos inferior) obtemos o termo de fronteira igual a
. Para o integral restante, simplificando sinais:
Definimos
para escrever de forma compacta
Passo 6
Calculamos
também por integração por partes (mesma ideia). Escolha:
Então
Aplicando integração por partes:
O termo de fronteira novamente é zero em
(porque
para
) e em
temos
, então o termo de fronteira é
. O integral restante fica
Passo 7
Voltando para a relação obtida no Passo 5, substituímos
:
Agora resolvemos esta equação algébrica para
. Reorganizando:
Multiplicando numerador e denominador convenientemente:
Passo 8
Condição de existência: durante o cálculo usamos que os termos do tipo
tendem a zero quando
, portanto a integral converge para
. Assim a expressão final vale nessa região de
.