Use a definição para encontrar as derivadas da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada da função $ f(x) = \frac{2x + 5}{3x - 2} $ usando a definição de derivada. Isso envolve entender um pouco de cálculo diferencial, especificamente como calcular a taxa de variação de uma função em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ em um ponto $ x $ é dada pelo limite:
Isso basicamente nos diz como a função está mudando infinitesimalmente perto do ponto $ x $.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = \frac{2x + 5}{3x - 2} $. Primeiro, precisamos calcular $ f(x + h) $:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ f(x + h) $ e $ f(x) $ na fórmula da derivada:
Passo 5
Para simplificar essa expressão, vamos encontrar um denominador comum para as frações no numerador:
Passo 6
Agora, vamos expandir os termos no numerador:
Passo 7
Subtraindo as duas expressões:
Passo 8
Então, temos:
Podemos cancelar o $ h $ no numerador e denominador:
Passo 9
Agora, avaliamos o limite quando $ h $ tende a 0:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = \frac{2x + 5}{3x - 2} $ é: