Use a definição para encontrar as derivadas da função.
f(x)=2 x+53 x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada da função $ f(x) = \frac{2x + 5}{3x - 2} $ usando a definição de derivada. Isso envolve entender um pouco de cálculo diferencial, especificamente como calcular a taxa de variação de uma função em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ em um ponto $ x $ é dada pelo limite:
f(x)
Isso basicamente nos diz como a função está mudando infinitesimalmente perto do ponto $ x $.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = \frac{2x + 5}{3x - 2} $. Primeiro, precisamos calcular $ f(x + h) $:
f(x) = 2x + 53x - 2

Passo 4

Agora, vamos substituir $ f(x + h) $ e $ f(x) $ na fórmula da derivada:
f(x + h)

Passo 5

Para simplificar essa expressão, vamos encontrar um denominador comum para as frações no numerador:
f'(x) = limh to 0 (2x + 2h + 5)(3x - 2) - (2x + 5)(3x + 3h - 2)h(3x + 3h - 2)(3x - 2)

Passo 6

Agora, vamos expandir os termos no numerador:
& (2x + 2h + 5)(3x - 2) = 6x^2 - 4x + 6h x - 4h + 15x - 10 & (2x + 5)(3x + 3h - 2) = 6x^2 + 6h x - 4x + 15x + 15h - 10

Passo 7

Subtraindo as duas expressões:
(6x^2 - 4x + 6h x - 4h + 15x - 10) - (6x^2 + 6h x - 4x + 15x + 15h - 10) = -19h

Passo 8

Então, temos:
f'(x) = limh to 0 -19hh(3x + 3h - 2)(3x - 2)
Podemos cancelar o $ h $ no numerador e denominador:
h

Passo 9

Agora, avaliamos o limite quando $ h $ tende a 0:
h

Resposta

A derivada da função $ f(x) = \frac{2x + 5}{3x - 2} $ é:
f(x) = 2x + 53x - 2

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