Use a definição de limite para provar que a sequência dada tem o limite
.
.;
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite de sequência, que a sequência
converge para
Isto é, devemos mostrar que para todo
existe
tal que, sempre que
, vale
Passo 2
Calculemos a diferença em módulo:
Passo 3
Para simplificar a escolha de
N , observamos que, para todo
n>=1 ,
Logo,
Passo 4
Queremos garantir
ou seja,
Basta então escolher um
N que satisfaça simultaneamente
N>=1 e
Por exemplo,
Passo 5
Com essa escolha de
N , sempre que
n>= N temos
o que conclui a prova pela definição de limite.
Resposta
Para todo
epsilon>0 , basta escolher
de modo que, se
n>= N , então
Portanto
limntoinftyn2n+1 = tfrac12 .