Use a definição de limite para provar que a sequência dada tem o limite L.
n2 n+1.; L=12.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite de sequência, que a sequência
an = n2n+1
converge para
L = 12
Isto é, devemos mostrar que para todo epsilon>0 existe NinN tal que, sempre que n>= N, vale
lvert an - Lrvert < epsilon

Passo 2

Calculemos a diferença em módulo:
lvert n2n+1 - 12rvert = lvert 2n - (2n+1)2(2n+1)rvert = 12(2n+1) = 14n + 2

Passo 3

Para simplificar a escolha de N, observamos que, para todo n>=1,
4n + 2 ;>=; 4n Longrightarrow 14n+2 <= 14n
Logo,
lvert n2n+1 - 12rvert <= 14n

Passo 4

Queremos garantir
14n < epsilon,
ou seja,
n > 14epsilon
Basta então escolher um N que satisfaça simultaneamente N>=1 e
N > 14epsilon
Por exemplo,
N = maxl,1,;llceil tfrac14epsilonrrceilr

Passo 5

Com essa escolha de N, sempre que n>= N temos
lvert n2n+1 - 12rvert <= 14n <= 14N < epsilon,
o que conclui a prova pela definição de limite.

Resposta

Para todo epsilon>0, basta escolher
N = maxl1,;lceiltfrac14epsilonrceilr
de modo que, se n>= N, então
lvert n2n+1 - 12rvert < epsilon
Portanto limntoinftyn2n+1 = tfrac12.

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