Use a definição de logarítmo para encontrar x.
i) \log _{x} 16=4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar x tal que \log_{x} 16 = 4. As informações dadas são:
  • A equação é \log_{x} 16 = 4.
  • A incógnita é x.
  • Lembrete importante (informação a considerar ao resolver): a base de um logaritmo, aqui x, deve satisfazer as restrições de domínio (que veremos nos próximos passos).

Passo 2

Definição usada (aula rápida): a definição de logaritmo diz que, para a>0, a\neq1, e b>0,
\log_{a} b = c \quad\Longleftrightarrow\quad a^{c} = b.
Explicando: aqui a é a base do logaritmo, b é o argumento (o número cujo logaritmo estamos pegando) e c é o valor do logaritmo. Essa equivalência é a ferramenta que vamos aplicar.

Passo 3

Aplicando a definição à equação \log_{x} 16 = 4, obtemos a equação equivalente em potências:
x^{4} = 16.

Passo 4

Agora resolvemos x^{4} = 16. Uma forma prática é escrever 16 como potência de um número conhecido: 16 = 2^{4}. Substituindo,
x^{4} = 2^{4}.
Quando duas potências com o mesmo expoente são iguais (aqui expoente 4), os módulos dos bases coincidem na solução real positiva, então uma solução óbvia é
x = 2.

Passo 5

Checagem das possíveis raízes e das restrições da base: a equação x^{4}=16 tem, em números reais, as soluções x=2 e x=-2 (pois (-2)^{4}=16). Porém, pela definição de logaritmo, a base x deve ser positiva e diferente de 1. Assim x=-2 é inválido como base de logaritmo. Além disso, x=1 não poderia ocorrer (mas aqui não é o caso). Portanto a única solução válida é x=2.

Passo 6

Concluindo: a solução que respeita a definição de logaritmo é x=2. Você pode decorar o atalho: resolver \log_{x} b = c é equivalente a escrever x = b^{1/c} e aí verificar as restrições b>0, x>0, x\neq1.

Resposta

2

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