Use a Definição de transformada de Laplace para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ que é definida por partes. A função é $ 2t + 1 $ no intervalo de $ 0 \leq t < 1 $ e vale 0 para $ t \geq 1 $. A matéria aqui é transformada de Laplace, que serve pra transformar funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando análises em sistemas lineares. Para resolver, vamos usar a definição da transformada de Laplace, que envolve uma integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace:
No nosso caso, $ f(t) $ só é diferente de zero entre 0 e 1. Ou seja, a integral vai de 0 a 1:
Passo 3
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Isso é só distribuir o $ 2t + 1 $ dentro da integral.
Passo 4
Primeiro, vamos resolver a integral mais simples, que é
:
Isso veio da antiderivada de $ e^{-st} $ em relação a $ t $.
Passo 5
Agora, a parte mais complicada:
. Aqui, a gente usa integração por partes. Escolhemos:
- $ u = t $
$ du = dt $ - $ dv = e^{-st} dt $
$ v = \frac{-e^{-st}}{s} $
Aplicando a fórmula de integração por partes ($ \int u , dv = uv - \int v , du $):
Já sabemos que
, então substituindo:
Passo 6
Agora, juntando tudo de novo:
Simplificando:
E combinando os termos semelhantes:
Resposta
A transformada de Laplace de $ f(t) $ é: