Use a Definição de transformada de Laplace para calcular Lf(t).
f(t)=cl2 t+1, & 0 <= t<1 0, & t >= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ que é definida por partes. A função é $ 2t + 1 $ no intervalo de $ 0 \leq t < 1 $ e vale 0 para $ t \geq 1 $. A matéria aqui é transformada de Laplace, que serve pra transformar funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando análises em sistemas lineares. Para resolver, vamos usar a definição da transformada de Laplace, que envolve uma integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
No nosso caso, $ f(t) $ só é diferente de zero entre 0 e 1. Ou seja, a integral vai de 0 a 1:
f(t)

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Lf(t) = 2 integral0^1 t e^-st , dt + integral0^1 e^-st , dt
Isso é só distribuir o $ 2t + 1 $ dentro da integral.

Passo 4

Primeiro, vamos resolver a integral mais simples, que é integral0^1 e^-st , dt:
integral0^1 e^-st , dt = [ -e^-sts ]0^1 = 1 - e^-ss
Isso veio da antiderivada de $ e^{-st} $ em relação a $ t $.

Passo 5

Agora, a parte mais complicada: integral0^1 t e^-st , dt. Aqui, a gente usa integração por partes. Escolhemos:
  • $ u = t $ u = t $ du = dt $
  • $ dv = e^{-st} dt $ Rightarrow $ v = \frac{-e^{-st}}{s} $
Aplicando a fórmula de integração por partes ($ \int u , dv = uv - \int v , du $):
du = dt
Já sabemos que dv = e^-st dt , então substituindo:
Rightarrow

Passo 6

Agora, juntando tudo de novo:
Lf(t) = 2 ( -e^-ss + 1 - e^-ss^2 ) + 1 - e^-ss
Simplificando:
Lf(t) = 2(1 - e^-s)s^2 - 2 e^-ss + 1 - e^-ss
E combinando os termos semelhantes:
Lf(t) = 2(1 - e^-s)s^2 - e^-ss

Resposta

A transformada de Laplace de $ f(t) $ é:
f(t)

Exercícios relacionados