Use a derivação implícita para determinar
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada
a partir da relação dada entre
e
:
Informações fornecidas:
- A igualdade acima vale para
como função de (isto é, ). - Quer-se
usando diferenciação implícita (derivando ambos os lados em relação a ).
Passo 2
Relembre as regras que vamos usar (em palavras simples):
- Regra do produto: se
e são funções, então
- Regra da cadeia: se
, então
- Derivadas das funções trigonométricas básicas:
Aqui
depende de
, então sempre que derivarmos uma expressão com
apareceria
via regra da cadeia.
Passo 3
Vamos derivar o lado esquerdo
aplicando a regra do produto com
e
.
Primeiro termo da regra do produto:
Segundo termo da regra do produto:
.
Usando a regra da cadeia,
Usando a regra da cadeia,
E
. Portanto
Somando os dois termos do produto:
Passo 4
Agora derivamos o lado direito
também por produto, com
e
:
Passo 5
Igualamos as duas derivadas obtidas (derivando a igualdade original):
Agora vamos expandir o produto do termo do meio para deixar claro os termos com
:
Passo 6
Agrupamos todos os termos que contêm
em um lado e os restantes no outro. Colocando os termos com
à esquerda:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 7
Isolamos
dividindo pelo coeficiente entre parênteses. Podemos também multiplicar numerador e denominador por
para deixar o denominador sem sinal negativo. Assim uma forma simplificada é:
Essa expressão é a derivada implícita solicitada. Vai dar certo na prova: é só lembrar de aplicar produto + cadeia e isolar
. Força aí!