Use a derivação implícita para determinar d y / d x.
x \cos (2 x+3 y)=y \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada \dfrac{d y}{d x} a partir da relação dada entre x e y:
x\cos\bigl(2x+3y\bigr)=y\sin x.
Informações fornecidas:
  • A igualdade acima vale para y como função de x (isto é, y=y(x)).
  • Quer-se \dfrac{dy}{dx} usando diferenciação implícita (derivando ambos os lados em relação a x).

Passo 2

Relembre as regras que vamos usar (em palavras simples):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\bigl[u(x)v(x)\bigr]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Regra da cadeia: se g(x)=f(h(x)), então
g'(x)=f'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
  • Derivadas das funções trigonométricas básicas:
\frac{d}{dx}\bigl(\cos t\bigr)=-\sin t\cdot \frac{dt}{dx},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr)=\cos x.
Aqui y depende de x, então sempre que derivarmos uma expressão com y apareceria \dfrac{dy}{dx} via regra da cadeia.

Passo 3

Vamos derivar o lado esquerdo \dfrac{d}{dx}\bigl[x\cos(2x+3y)\bigr] aplicando a regra do produto com u(x)=x e v(x)=\cos(2x+3y).
Primeiro termo da regra do produto:
u'(x)v(x)=1\cdot \cos\bigl(2x+3y\bigr)=\cos\bigl(2x+3y\bigr).
Segundo termo da regra do produto: u(x)v'(x)=x\cdot \dfrac{d}{dx}\bigl[\cos(2x+3y)\bigr].
Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl[\cos(2x+3y)\bigr]=-\sin\bigl(2x+3y\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(2x+3y\bigr).
E \dfrac{d}{dx}\bigl(2x+3y\bigr)=2+3\frac{dy}{dx}. Portanto
x\cdot \frac{d}{dx}\bigl[\cos(2x+3y)\bigr] = x\bigl(-\sin(2x+3y)\bigr)\bigl(2+3\frac{dy}{dx}\bigr).
Somando os dois termos do produto:
\frac{d}{dx}\bigl[x\cos(2x+3y)\bigr] =\cos(2x+3y)-x\sin(2x+3y)\bigl(2+3\frac{dy}{dx}\bigr).

Passo 4

Agora derivamos o lado direito \dfrac{d}{dx}\bigl[y\sin x\bigr] também por produto, com u(x)=y e v(x)=\sin x:
\frac{d}{dx}\bigl[y\sin x\bigr]=\frac{dy}{dx}\sin x + y\cos x.

Passo 5

Igualamos as duas derivadas obtidas (derivando a igualdade original):
\cos(2x+3y)-x\sin(2x+3y)\bigl(2+3\frac{dy}{dx}\bigr) = \frac{dy}{dx}\sin x + y\cos x.
Agora vamos expandir o produto do termo do meio para deixar claro os termos com \dfrac{dy}{dx}:
\cos(2x+3y)-2x\sin(2x+3y)-3x\sin(2x+3y)\cdot\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx}\sin x + y\cos x.

Passo 6

Agrupamos todos os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} em um lado e os restantes no outro. Colocando os termos com \dfrac{dy}{dx} à esquerda:
-3x\sin(2x+3y)\cdot\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}\sin x = y\cos x + 2x\sin(2x+3y)-\cos(2x+3y).
Fatorando \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo:
\Bigl(-3x\sin(2x+3y)-\sin x\Bigr)\frac{dy}{dx} = y\cos x + 2x\sin(2x+3y)-\cos(2x+3y).

Passo 7

Isolamos \dfrac{dy}{dx} dividindo pelo coeficiente entre parênteses. Podemos também multiplicar numerador e denominador por -1 para deixar o denominador sem sinal negativo. Assim uma forma simplificada é:
\frac{dy}{dx} =\frac{\cos(2x+3y)-y\cos x-2x\sin(2x+3y)}{3x\sin(2x+3y)+\sin x}.
Essa expressão é a derivada implícita solicitada. Vai dar certo na prova: é só lembrar de aplicar produto + cadeia e isolar \dfrac{dy}{dx}. Força aí!

Resposta

\frac{dy}{dx} =\frac{\cos(2x+3y)-y\cos x-2x\sin(2x+3y)}{3x\sin(2x+3y)+\sin x}.

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