Use a derivação implícita para encontrar partial z / partial x e partial z / partial y.
e^e=x y z

Passo 1

O enunciado dá a relação
e^e = x,y,z
e pede para achar partial zpartial x e partial zpartial y usando derivação implícita. Vamos tratar z como função de (x,y) e aplicar a regra do produto nas derivadas parciais.

Passo 2

Definimos a função implícita
F(x,y,z)=x,y,z - e^e = 0
Diferenciando em relação a x (com y const.), obtemos
partialpartial x(x,y,z) + partialpartial x(-e^e)=0
Pela regra do produto:
y,z + x,y,partial zpartial x=0
Isolando partial zpartial x, fica
partial zpartial x=-y,zx,y=-zx

Passo 3

Diferenciando F=0 em relação a y (com x const.), vem
partialpartial y(x,y,z)=0 Longrightarrow x,z + x,y,partial zpartial y=0
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partial zpartial y=-x,zx,y=-zy

Passo 4

Se quisermos expressar em função de x,y, usamos
z=e^ex,y,
e daí
partial zpartial x=-e^ex^2,y, partial zpartial y=-e^ex,y^2

Resposta

partial zpartial x=-zx, partial zpartial y=-zy

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