Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.
y=(sen x)^ln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = (sin x)^ln x,
usando derivação logarítmica.
Conteúdo envolvido: derivada de função potência em que tanto a base u(x)=sin x quanto o expoente v(x)=ln x dependem de x. A técnica é tomar o logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a diferenciação.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados. Como lnl(u^vr)=v,ln u, temos
ln y = ln x ,cdot, ln(sin x)

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x.
À esquerda, ddx[ln y]=y'y.
À direita, usamos a regra do produto em ln xcdotln(sin x):
ddx[ln xcdotln(sin x)] =1x,ln(sin x) +ln x;ddx[ln(sin x)]
Como ddx[ln(sin x)]=cos xsin x=cot x, obtemos
y'y =ln(sin x)x +ln x;cot x

Passo 4

Isolando y' e voltando à notação original y=(sin x)^ln x, multiplicamos ambos os lados por y:
y' =(sin x)^ln x,l(ln(sin x)x+ln x;cot xr)

Resposta

y'=(sin x)^ln x!l(ln(sin x)x+ln x;cot xr)

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