Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.
y=(ln x)^cos x

Passo 1

Temos a função y =(ln x)^cos x e queremos encontrar y’ usando derivação logarítmica. Vamos precisar das derivadas de ln x e de cos x, além da regra do produto e da cadeia.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência. Sabendo que ln(a^b)=bln a, obtemos:

Passo 3

ln y = cos x cdot ln(ln x)

Passo 4

Agora vamos diferenciar implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, pela regra da cadeia, temos d(ln y)/dx = y'/y. No lado direito, aplicamos a regra do produto em cos x cdot ln(ln x):

Passo 5

y'y = ddx(cos x)cdot ln(ln x) + cos x cdot ddx[ln(ln x)]

Passo 6

Calculando as derivadas parciais:

Passo 7

ddx(cos x) = -sin x, ddx[ln(ln x)] = 1ln x cdot 1x = 1xln x

Passo 8

Substituindo nessas parcelas, fica:

Passo 9

y'y = -sin x cdot ln(ln x) + cos x cdot 1xln x

Passo 10

Para isolar y', multiplicamos ambos os lados por y:

Passo 11

y' = y (-sin x cdot ln(ln x) + cos xxln x)

Passo 12

Por fim, lembrando que y=(ln x)^cos x, substituímos de volta:

Passo 13

y' = (ln x)^cos x (-sin x cdot ln(ln x) + cos xxln x)

Resposta

y' = (ln x)^cos x l(-sin x cdot ln(ln x) + cos xxln xr)

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