Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
h) f(x)=\left(e^{x}\right)^{\ln x}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a derivada de f(x)=\left(e^{x}\right)^{\ln x}.
Informações dadas e observações iniciais importantes:
  • A função contém \ln x, portanto a expressão só faz sentido para x>0.
  • Note que \left(e^{x}\right)^{\ln x}>0 para x>0, então podemos aplicar logaritmo natural sem problemas.
    O objetivo é obter f'(x).

Passo 2

Ideia da derivação logarítmica (aula rápida): quando temos uma função positiva complicada do tipo f(x)=g(x)^{h(x)}, é prático tomar logaritmo natural dos dois lados para transformar potência em produto. Usamos a propriedade
\ln\bigl(g(x)^{h(x)}\bigr)=h(x)\,\ln\bigl(g(x)\bigr).
Aplicando isto à nossa f: primeiro colocamos y=f(x) e tomamos logaritmo:
\ln y=\ln\!\left(\left(e^{x}\right)^{\ln x}\right).
Usando a propriedade do logaritmo:
\ln y=\ln x\cdot \ln\!\left(e^{x}\right).
Mas \ln\!\left(e^{x}\right)=x (porque logaritmo e exponencial são funções inversas), logo
\ln y = x\ln x.
Observação extra útil: essa mesma expressão mostra que f(x)=e^{x\ln x}, e portanto f(x)=x^{x} para x>0. Isso conecta com a função conhecida x^{x}.

Passo 3

Derivando implicitamente ambos os lados em relação a x: à esquerda usamos a regra da cadeia para \ln y, lembrando que y=f(x). A derivada de \ln y é \dfrac{y'}{y}. À direita derivamos x\ln x usando a regra do produto. Escrevendo:
\frac{y'}{y}=\frac{d}{dx}\bigl(x\ln x\bigr).
Agora a regra do produto para x\ln x: seja u(x)=x e v(x)=\ln x. Então
\frac{d}{dx}(x\ln x)=u'v+uv' = 1\cdot \ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1.
Portanto
\frac{y'}{y}=\ln x + 1.

Passo 4

Isolando y'=f'(x): multiplicamos ambos os lados por y=f(x):
y' = y\bigl(\ln x + 1\bigr).
Voltando para a notação original de f e substituindo y=f(x)=\left(e^{x}\right)^{\ln x}, obtemos
f'(x)=\left(e^{x}\right)^{\ln x}\bigl(\ln x + 1\bigr).
Como observação final, usando \left(e^{x}\right)^{\ln x}=e^{x\ln x}=x^{x}, podemos escrever também
f'(x)=x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr),
válido para x>0.

Resposta

\left(e^{x}\right)^{\ln x}\bigl(\ln x + 1\bigr)

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