Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
h)
’
h)
Passo 1
O que o problema pede: calcular a derivada de
.
Informações dadas e observações iniciais importantes:
Informações dadas e observações iniciais importantes:
- A função contém
, portanto a expressão só faz sentido para . - Note que
para , então podemos aplicar logaritmo natural sem problemas.
O objetivo é obter.
Passo 2
Ideia da derivação logarítmica (aula rápida): quando temos uma função positiva complicada do tipo
, é prático tomar logaritmo natural dos dois lados para transformar potência em produto. Usamos a propriedade
Aplicando isto à nossa
: primeiro colocamos
e tomamos logaritmo:
Usando a propriedade do logaritmo:
Mas
(porque logaritmo e exponencial são funções inversas), logo
Observação extra útil: essa mesma expressão mostra que
, e portanto
para
. Isso conecta com a função conhecida
.
Passo 3
Derivando implicitamente ambos os lados em relação a
: à esquerda usamos a regra da cadeia para
, lembrando que
. A derivada de
é
. À direita derivamos
usando a regra do produto. Escrevendo:
Agora a regra do produto para
: seja
e
. Então
Portanto
Passo 4
Isolando
: multiplicamos ambos os lados por
:
Voltando para a notação original de
e substituindo
, obtemos
Como observação final, usando
, podemos escrever também
válido para
.