Use derivação logarítmica para calcular:
y=raiz(x^2+1)(x-1)^2.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função y=raiz(x^2+1)(x-1)^2 e precisamos calcular a derivada dela usando derivação logarítmica. A derivação logarítmica é uma técnica que facilita o cálculo da derivada de produtos e quocientes, especialmente quando temos uma função complexa como essa. Para resolver, vamos precisar usar a propriedade dos logaritmos e algumas regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a derivação. Isso nos dá:
ln(y) = ln(raiz(x^2+1)(x-1)^2)
Aí, lembrando que y é uma função de x, podemos escrever:
ln(y) = 12 ln((x^2+1)(x-1)^2)
Agora, usando a propriedade do logaritmo que diz que ln(a cdot b) = ln(a) + ln(b), podemos quebrar essa parte:
ln(y) = 12 (ln(x^2+1) + ln((x-1)^2))
E ainda podemos simplificar mais usando a propriedade ln(a^b) = b cdot ln(a):
ln(y) = 12 ln(x^2+1) + ln(x-1)

Passo 3

Agora que temos a equação logarítmica, precisamos derivar ambos os lados em relação a x. Usando a regra da cadeia, a derivada do lado esquerdo fica:
1y dydx
No lado direito, a derivada da primeira parte 12 ln(x^2+1) é:
12 cdot 1x^2+1 cdot 2x = xx^2+1
E a derivada de ln(x-1) é:
1x-1
Então, juntando tudo, temos:
1y dydx = xx^2+1 + 1x-1

Passo 4

Agora, vamos isolar dydx. Multiplicando os dois lados da equação por y:
dydx = y (xx^2+1 + 1x-1)
Lembre-se que y = raiz(x^2+1)(x-1)^2. Então, substituindo de volta:
dydx = raiz(x^2+1)(x-1)^2 (xx^2+1 + 1x-1)

Resposta

Portanto, a derivada da função é:
dydx = raiz(x^2+1)(x-1)^2 (xx^2+1 + 1x-1)

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