Use derivação logarítmica para calcular:
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos calcular a derivada dela usando derivação logarítmica. A derivação logarítmica é uma técnica que facilita o cálculo da derivada de produtos e quocientes, especialmente quando temos uma função complexa como essa. Para resolver, vamos precisar usar a propriedade dos logaritmos e algumas regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a derivação. Isso nos dá:
Aí, lembrando que
é uma função de
, podemos escrever:
Agora, usando a propriedade do logaritmo que diz que
, podemos quebrar essa parte:
E ainda podemos simplificar mais usando a propriedade
:
Passo 3
Agora que temos a equação logarítmica, precisamos derivar ambos os lados em relação a
. Usando a regra da cadeia, a derivada do lado esquerdo fica:
No lado direito, a derivada da primeira parte
é:
E a derivada de
é:
Então, juntando tudo, temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar
. Multiplicando os dois lados da equação por
:
Lembre-se que
. Então, substituindo de volta:
Resposta
Portanto, a derivada da função é: