Use derivação logarítmica para calcular:
y=raizx(x+1).

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos a função y=raizx(x+1) e precisamos calcular a sua derivada usando derivação logarítmica. O conteúdo que vamos trabalhar aqui é sobre derivadas, especificamente a técnica de derivação logarítmica. Para resolver isso, vamos precisar transformar a função em uma forma que facilite a derivação, utilizando logaritmos.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o logaritmo natural a ambos os lados da equação. Assim, temos:
ln(y) = ln(raizx(x+1))
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que ln(a^b) = bln(a), podemos simplificar a parte da raiz:
ln(y) = 12 ln(x(x+1))
Essencialmente, estamos dizendo que o logaritmo de y é igual à metade do logaritmo de x(x+1). Agora vamos expandir o logaritmo do produto usando a propriedade ln(ab) = ln(a) + ln(b):
ln(y) = 12 [ln(x) + ln(x+1)]

Passo 3

Agora que temos essa forma, o próximo passo é derivar ambos os lados em relação a x. Usamos a regra da cadeia na esquerda, que nos dá:
1y dydx = 12 ( 1x + 1x+1 )
Aqui, dydx é a notação que usamos para a derivada de y em relação a x. Agora, vamos simplificar a parte direita:
1y dydx = 12 ( 1x + 1x+1 ) = 12 ( x+1 + xx(x+1) ) = 12 ( 2x + 1x(x+1) )

Passo 4

Agora, para encontrar a derivada dy/dx, precisamos multiplicar ambos os lados por y:
dydx = y cdot 12 cdot 2x + 1x(x+1)
Lembre-se que y = raizx(x+1), então substituímos:
dydx = raizx(x+1) cdot 2x + 12x(x+1)
Finalmente, podemos reescrever isso:
dydx = (2x + 1) raizx(x+1)2x(x+1)

Resposta

A derivada da função y=raizx(x+1) é dada por:
dydx = (2x + 1) raizx(x+1)2x(x+1)

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