Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
f(x)=(x+1)^cos x.

Passo 1

Vamos ver o que o enunciado está pedindo. Nós temos a função f(x) = (x + 1)^cos x e queremos encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, dydx. O conteúdo que estamos usando aqui é a derivação logarítmica, que é uma técnica super útil quando temos funções que envolvem potências que variam com x. Para resolver, precisaremos aplicar o logaritmo natural para simplificar a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
ln y = ln(f(x)) = ln((x + 1)^cos x)
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que ln(a^b) = b cdot ln a, podemos reescrever a expressão:
ln y = cos x cdot ln(x + 1)
Legal, agora temos uma expressão que é mais fácil de derivar!

Passo 3

Agora precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Começando pela esquerda, usamos a regra da cadeia:
1y cdot dydx
Agora, para a direita, precisamos usar a regra do produto, já que temos duas funções multiplicando: cos x e ln(x + 1).
A derivada é dada por:
ddx(cos x cdot ln(x+1)) = ddx(cos x) cdot ln(x + 1) + cos x cdot ddx(ln(x + 1))
Agora, derivando cada parte:
  • A derivada de cos x é -sin x.
  • A derivada de ln(x + 1) é 1x + 1.
Substituindo essas derivadas, temos:
dydx cdot 1y = (-sin x) cdot ln(x + 1) + cos x cdot 1x + 1

Passo 4

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por y (que é a nossa função original f(x)):
dydx = y [ (-sin x) cdot ln(x + 1) + cos xx + 1 ]
Substituindo a expressão de y de volta, lembrando que y = (x + 1)^cos x, temos:
dydx = (x + 1)^cos x [ (-sin x) cdot ln(x + 1) + cos xx + 1 ]

Resposta

Portanto, a derivada dydx é:
dydx = (x + 1)^cos x [ (-sin x) cdot ln(x + 1) + cos xx + 1 ]

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