Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
y=(x^2+1)^pi.

Passo 1

Vamos resumir o que temos na questão: precisamos encontrar a derivada de y=(x^2+1)^pi em relação a x, usando a derivação logarítmica. O conteúdo que estamos abordando aqui é cálculo diferencial, especificamente sobre como usar logaritmos para simplificar a derivação de funções que têm potências. Para resolver, vamos precisar da regra do logaritmo, que diz que log(a^b) = b cdot log(a).

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Isso nos ajuda a simplificar a função, já que a derivada de um logaritmo é mais fácil de calcular. Então fazemos assim:
log(y) = log((x^2+1)^pi)
Usando a propriedade do logaritmo mencionada, podemos simplificar:
log(y) = pi cdot log(x^2+1)

Passo 3

Agora, precisamos derivar ambos os lados em relação a x. Quando derivamos o lado esquerdo, precisamos usar a regra da cadeia, que diz que se u = y, então d(log(u))dx = 1u cdot dudx. Assim, temos:
ddx(log(y)) = 1y cdot dydx
Do lado direito, temos que derivar pi cdot log(x^2+1). A derivada de log(u) é 1u cdot dudx. Então, vamos precisar da derivada de x^2+1, que é 2x. Logo, ficamos com:
ddx(pi cdot log(x^2+1)) = pi cdot 1x^2+1 cdot (2x)
Isso simplifica para:
2pi xx^2+1

Passo 4

Agora juntamos tudo. Temos, até aqui, que:
1y cdot dydx = 2pi xx^2+1
Para encontrar dydx, basta multiplicar ambos os lados por y:
dydx = y cdot 2pi xx^2+1
Lembrando que y = (x^2+1)^pi, podemos substituir:
dydx = (x^2+1)^pi cdot 2pi xx^2+1

Resposta

Assim, temos a derivada final:
dydx = 2pi x cdot (x^2+1)^pi-1

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