Use derivada para determinar a velocidade v(t) e a aceleração a(t) a partir de cada uma das posições abaixo:
(e) x(t)=\frac{t^{-6}}{16}\left[\left(\frac{2}{t}\right)^{6}-2^{6}\right]

Passo 1

O enunciado pede para usar derivada para encontrar a velocidade v(t) e a aceleração a(t) a partir da posição
x(t)=\frac{t^{-6}}{16}\Bigl[\bigl(\tfrac{2}{t}\bigr)^{6}-2^{6}\Bigr].
O conteúdo principal é derivar potências de t usando a regra \frac{d}{dt}t^{n}=nt^{n-1}.

Passo 2

Vamos simplificar x(t) antes de derivar. Note que
\bigl(\tfrac{2}{t}\bigr)^{6}=2^{6}t^{-6}=64\,t^{-6},
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x(t)=\frac{t^{-6}}{16}\bigl(64\,t^{-6}-64\bigr) =\frac{64}{16}\bigl(t^{-6}\cdot t^{-6}-t^{-6}\bigr) =4\bigl(t^{-12}-t^{-6}\bigr).

Passo 3

Agora derivamos para obter a velocidade:
v(t)=\frac{dx}{dt} =4\frac{d}{dt}\bigl(t^{-12}\bigr)-4\frac{d}{dt}\bigl(t^{-6}\bigr) =4\bigl(-12\,t^{-13}\bigr)-4\bigl(-6\,t^{-7}\bigr) =-48\,t^{-13}+24\,t^{-7}.

Passo 4

Derivamos v(t) para encontrar a aceleração:
a(t)=\frac{dv}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(-48\,t^{-13}\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(24\,t^{-7}\bigr) =-48\bigl(-13\,t^{-14}\bigr)+24\bigl(-7\,t^{-8}\bigr) =624\,t^{-14}-168\,t^{-8}.

Resposta

v(t)=-48\,t^{-13}+24\,t^{-7},\quad a(t)=624\,t^{-14}-168\,t^{-8}.

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