Use derivada para determinar a velocidade v(t) e a aceleração a(t) a partir de cada uma das posições abaixo:
(f) x(t)=(1-t)^{2}-\left(t^{2}-1\right)(t-2)

Passo 1

O enunciado dá a posição
x(t) = (1-t)^{2} - \bigl(t^{2}-1\bigr)(t-2)
e pede para calcular a velocidade v(t)=x'(t) e a aceleração a(t)=x''(t). Vamos usar regras de derivação (derivada de potência, regra da cadeia e regra do produto).

Passo 2

Derivamos cada termo separadamente:
\frac{d}{dt}(1-t)^{2} = -2\,(1-t),
\frac{d}{dt}\bigl[(t^{2}-1)(t-2)\bigr] = (t^{2}-1)'\,(t-2)+(t^{2}-1)\,(t-2)' = 2t\,(t-2)+(t^{2}-1).
Logo,
v(t)=x'(t) = -2\,(1-t)\;-\;\bigl[\,2t\,(t-2)+(t^{2}-1)\bigr].

Passo 3

Agora simplificamos:
-2\,(1-t)=2t-2, \quad 2t\,(t-2)+(t^{2}-1)=2t^{2}-4t+t^{2}-1=3t^{2}-4t-1.
Portanto,
v(t)=(2t-2)-\bigl(3t^{2}-4t-1\bigr) = -3t^{2}+6t-1.

Passo 4

Derivamos v(t) para obter a aceleração:
a(t)=v'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(-3t^{2}+6t-1\bigr) =-6t+6.

Resposta

v(t) = -3t^{2} + 6t - 1 a(t) = -6t + 6

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