Use derivada para determinar a velocidade v(t) e a aceleração a(t) a partir de cada uma das posições abaixo:
(h) x(t)=e^{-t}-\frac{1}{2} \cos (-2 t)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a velocidade \;v(t)\; e a aceleração \;a(t)\; derivando a posição
x(t)=e^{-t}-\tfrac12\cos(-2t).
A matéria envolve as regras de derivação de exponencial e de função trigonométrica com argumento composto.

Passo 2

Como o cosseno é função par, vale \cos(-2t)=\cos(2t). Assim, podemos reescrever
x(t)=e^{-t}-\tfrac12\cos(2t).

Passo 3

Para obter a velocidade, derivamos x(t). Usando
\frac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t}, \quad \frac{d}{dt}\cos(2t)=-2\sin(2t),
temos
v(t)=x'(t)=-e^{-t}-\tfrac12\bigl(-2\sin(2t)\bigr) =-e^{-t}+\sin(2t).

Passo 4

Para a aceleração, derivamos v(t). Como
\frac{d}{dt}\sin(2t)=2\cos(2t),
segue
a(t)=v'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(-e^{-t}+\sin(2t)\bigr) =e^{-t}+2\cos(2t).

Resposta

v(t)=-e^{-t}+\sin(2t) a(t)=e^{-t}+2\cos(2t)

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