Use derivada para determinar a velocidade v(t) e a aceleração a(t) a partir de cada uma das posições abaixo:
(i) x(t)=-\sin \left(t^{3}-2\right)-e^{t^{2}-1}

Passo 1

O enunciado dá a posição
x(t) = -\sin\bigl(t^{3}-2\bigr)\;-\;e^{\,t^{2}-1}
e pede a velocidade v(t)=\frac{dx}{dt} e a aceleração a(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Para isso vamos usar a regra da cadeia (derivada de função composta), a derivada de \sin e de e^{u}, e em seguida a regra do produto e da soma.

Passo 2

Calculando a velocidade, primeiro derivamos cada termo de x(t):
  • A derivada de -\sin(u) é -\cos(u)\,\frac{du}{dt} com u=t^{3}-2, logo
\frac{d}{dt}\bigl[-\sin(t^{3}-2)\bigr] = -\cos\bigl(t^{3}-2\bigr)\cdot 3t^{2} = -3t^{2}\,\cos\bigl(t^{3}-2\bigr).
  • A derivada de -e^{v} é -e^{v}\,\frac{dv}{dt} com v=t^{2}-1, logo
\frac{d}{dt}\bigl[-e^{\,t^{2}-1}\bigr] = -e^{\,t^{2}-1}\cdot 2t = -2t\,e^{\,t^{2}-1}.
Portanto,
v(t)=x'(t)=-3t^{2}\cos\bigl(t^{3}-2\bigr)\;-\;2t\,e^{\,t^{2}-1}.

Passo 3

Para obter a aceleração a(t)=v'(t), derivamos
v(t)=-3t^{2}\cos\bigl(t^{3}-2\bigr)\;-\;2t\,e^{\,t^{2}-1}.
Aplicando a regra do produto em cada parcela:
  • No termo -3t^{2}\cos(t^{3}-2), seja u=-3t^{2} e w=\cos(t^{3}-2). Então
u'=-6t, \quad w'=-\sin(t^{3}-2)\cdot 3t^{2}=-3t^{2}\sin(t^{3}-2).
Logo a derivada desse termo é
u'w + u\,w' = -6t\cos(t^{3}-2) +(-3t^{2})\bigl[-3t^{2}\sin(t^{3}-2)\bigr] = -6t\cos(t^{3}-2)+9t^{4}\sin(t^{3}-2).
  • No termo -2t\,e^{\,t^{2}-1}, seja p=-2t e q=e^{\,t^{2}-1}. Então
p'=-2, \quad q'=e^{\,t^{2}-1}\cdot 2t=2t\,e^{\,t^{2}-1}.
Logo a derivada desse termo é
p'q + p\,q' = -2\,e^{\,t^{2}-1} +(-2t)\bigl[2t\,e^{\,t^{2}-1}\bigr] = -2e^{\,t^{2}-1}-4t^{2}e^{\,t^{2}-1} = -(4t^{2}+2)\,e^{\,t^{2}-1}.
Somando as duas partes, obtemos
a(t)=v'(t) = -6t\cos\bigl(t^{3}-2\bigr) +9t^{4}\sin\bigl(t^{3}-2\bigr) -(4t^{2}+2)\,e^{\,t^{2}-1}.

Resposta

v(t)=-3t^{2}\cos\bigl(t^{3}-2\bigr)-2t\,e^{\,t^{2}-1} a(t)=-6t\cos\bigl(t^{3}-2\bigr)+9t^{4}\sin\bigl(t^{3}-2\bigr)-(4t^{2}+2)\,e^{\,t^{2}-1}

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