Use derivada para determinar a velocidade v(t) e a aceleração a(t) a partir de cada uma das posições abaixo:
(k) x(t)=t \operatorname{sen}\left(\frac{t}{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a posição
x(t)=t\sin\!\bigl(\tfrac t2\bigr)
e pede velocidade v(t)=x'(t) e aceleração a(t)=v'(t). Vamos usar regra do produto e regra da cadeia:
  • Se x(t)=f(t)g(t) então x'(t)=f'(t)g(t)+f(t)g'(t).
  • Se g(t)=\sin(u(t)) então g'(t)=\cos(u(t))\,u'(t), e similarmente para \cos.

Passo 2

Aplicando produto e cadeia em
x(t)=t\sin\!\bigl(\tfrac t2\bigr)
temos
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl[t\sin(\tfrac t2)\bigr] =\underbrace{1}_{t'}\sin\!\bigl(\tfrac t2\bigr) + t\cdot\underbrace{\cos(\tfrac t2)}_{(\sin(\tfrac t2))'}\cdot\underbrace{\tfrac12}_{(\tfrac t2)'} =\sin\!\bigl(\tfrac t2\bigr)+\frac t2\cos\!\bigl(\tfrac t2\bigr).

Passo 3

Agora derivamos
v(t)=\sin\!\bigl(\tfrac t2\bigr)+\frac t2\cos\!\bigl(\tfrac t2\bigr).
Primeiro termo (cadeia):
\frac{d}{dt}\sin\!\bigl(\tfrac t2\bigr) =\cos\!\bigl(\tfrac t2\bigr)\cdot\tfrac12 =\frac12\cos\!\bigl(\tfrac t2\bigr).
Segundo termo (produto + cadeia):
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac t2\cos(\tfrac t2)\Bigr) =\underbrace{\frac12}_{(t/2)'}\cos\!\bigl(\tfrac t2\bigr) + \frac t2\cdot\Bigl(-\sin\!\bigl(\tfrac t2\bigr)\Bigr)\cdot\tfrac12 =\frac12\cos\!\bigl(\tfrac t2\bigr)-\frac t4\sin\!\bigl(\tfrac t2\bigr).

Passo 4

Somando as duas derivadas obtemos
a(t) =\frac12\cos\!\bigl(\tfrac t2\bigr) +\Bigl(\frac12\cos\!\bigl(\tfrac t2\bigr)-\frac t4\sin\!\bigl(\tfrac t2\bigr)\Bigr) =\cos\!\bigl(\tfrac t2\bigr)-\frac t4\sin\!\bigl(\tfrac t2\bigr).

Resposta

v(t)=\sin\!\bigl(\tfrac t2\bigr)+\frac t2\cos\!\bigl(\tfrac t2\bigr), \quad a(t)=\cos\!\bigl(\tfrac t2\bigr)-\frac t4\sin\!\bigl(\tfrac t2\bigr).

Exercícios relacionados