Use derivada para determinar a velocidade v(t) e a aceleração a(t) a partir de cada uma das posições abaixo:
(j) x(t)=2 \operatorname{sen}\left(t^{2}\right) \cos (t)

Passo 1

O enunciado dá a posição unidimensional
x(t)=2\,\operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr)\,\cos(t)
e pede a velocidade v(t)=x'(t) e a aceleração a(t)=v'(t). Para isso vamos usar as regras do produto e da cadeia.

Passo 2

Calculamos a velocidade aplicando a derivada em
x(t)=2\cdot f(t)\cdot g(t),
onde f(t)=\operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr) e g(t)=\cos(t).
Primeiro:
f'(t)=\frac{d}{dt}\bigl[\operatorname{sen}(t^2)\bigr] =2t\,\cos(t^2),
g'(t)=\frac{d}{dt}[\cos(t)] =-\operatorname{sen}(t).
Pelo produto,
v(t)=x'(t) =2\bigl[f'(t)\,g(t)+f(t)\,g'(t)\bigr] =2\bigl[2t\cos(t^2)\cos(t)-\operatorname{sen}(t^2)\,\operatorname{sen}(t)\bigr].
Logo,
v(t)=4t\cos(t^2)\cos(t)-2\,\operatorname{sen}(t^2)\,\operatorname{sen}(t).

Passo 3

Agora derivamos v(t) para obter a(t). Escrevendo
v(t)=A(t)-B(t), \quad A(t)=4t\cos(t^2)\cos(t), \quad B(t)=2\,\operatorname{sen}(t^2)\,\operatorname{sen}(t),
temos
A'(t) =4\cos(t^2)\cos(t) +4t\frac{d}{dt}\bigl[\cos(t^2)\cos(t)\bigr],
\frac{d}{dt}\bigl[\cos(t^2)\cos(t)\bigr] =-2t\sin(t^2)\cos(t)-\cos(t^2)\,\operatorname{sen}(t),
logo
A'(t) =4\cos(t^2)\cos(t) +4t\bigl[-2t\sin(t^2)\cos(t)-\cos(t^2)\,\operatorname{sen}(t)\bigr].
E
B'(t) =2\bigl[2t\cos(t^2)\operatorname{sen}(t) +\operatorname{sen}(t^2)\cos(t)\bigr] =4t\cos(t^2)\operatorname{sen}(t) +2\,\operatorname{sen}(t^2)\cos(t).
Portanto
a(t)=A'(t)-B'(t) =4\cos(t^2)\cos(t) -8t^2\sin(t^2)\cos(t) -4t\cos(t^2)\operatorname{sen}(t) -4t\cos(t^2)\operatorname{sen}(t) -2\,\operatorname{sen}(t^2)\cos(t).
Simplificando termos semelhantes,
a(t) =4\cos(t^2)\cos(t) -8t\cos(t^2)\operatorname{sen}(t) -8t^2\sin(t^2)\cos(t) -2\,\operatorname{sen}(t^2)\cos(t).

Resposta

v(t)=4t\cos(t^2)\cos(t)-2\,\operatorname{sen}(t^2)\,\operatorname{sen}(t) a(t)=4\cos(t^2)\cos(t)-8t\cos(t^2)\operatorname{sen}(t)-8t^2\sin(t^2)\cos(t)-2\,\operatorname{sen}(t^2)\cos(t)

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