Use derivada para determinar a velocidade v(t) e a aceleração a(t) a partir de cada uma das posições abaixo:
(l) x(t)=e^{2 t} \cos (t)

Passo 1

O enunciado nos dá a posição
x(t)=e^{2t}\cos(t)
e pede para encontrar a velocidade v(t)=\frac{dx}{dt} e a aceleração a(t)=\frac{d^2x}{dt^2}. Para isso vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia na diferenciação de funções exponencial e trigonométrica.

Passo 2

Calcular a velocidade v(t)=\frac{dx}{dt}. Aplicando a regra do produto a
x(t)=e^{2t}\cdot\cos(t),
temos
v(t) =\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}\bigr)\,\cos(t) +e^{2t}\,\frac{d}{dt}\bigl(\cos(t)\bigr).
Como \frac{d}{dt}(e^{2t})=2e^{2t} e \frac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t, segue
v(t) =2e^{2t}\cos(t) +e^{2t}(-\sin t) =e^{2t}\bigl(2\cos t-\sin t\bigr).

Passo 3

Calcular a aceleração a(t)=\frac{dv}{dt}. Partindo de
v(t)=e^{2t}\bigl(2\cos t-\sin t\bigr),
novamente aplicamos a regra do produto:
a(t) =\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}\bigr)\,(2\cos t-\sin t) +e^{2t}\,\frac{d}{dt}\bigl(2\cos t-\sin t\bigr).
Já temos \frac{d}{dt}(e^{2t})=2e^{2t}. E
\frac{d}{dt}\bigl(2\cos t-\sin t\bigr) =-2\sin t-\cos t.
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a(t) =2e^{2t}(2\cos t-\sin t) +e^{2t}(-2\sin t-\cos t) =e^{2t}\bigl(4\cos t-2\sin t-2\sin t-\cos t\bigr) =e^{2t}\bigl(3\cos t-4\sin t\bigr).

Resposta

v(t)=e^{2t}\bigl(2\cos t-\sin t\bigr), \qquad a(t)=e^{2t}\bigl(3\cos t-4\sin t\bigr).

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