Use a derivada de f(x)=\ln (x) para calcular as derivadas abaixo:
y=\ln (|x|).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=\ln\bigl(\lvert x\rvert\bigr). Como já conhecemos a derivada de
f(x)=\ln(x)\quad\text{para }x>0,
que é
f'(x)=\frac1x,
vamos usar essa informação juntamente com a regra da cadeia para lidar com o valor absoluto.

Passo 2

Observamos que \ln\bigl(\lvert x\rvert\bigr) pode ser escrito em duas formas, dependendo do sinal de x:
  • Se x>0, então \ln\bigl(\lvert x\rvert\bigr)=\ln(x).
  • Se x<0, então \ln\bigl(\lvert x\rvert\bigr)=\ln(-x).
Dessa forma, tratamos separadamente as duas regiões do domínio.

Passo 3

Caso x>0:
y=\ln(x)
e, pela derivada conhecida,
\frac{dy}{dx}=\frac1x.

Passo 4

Caso x<0:
y=\ln(-x).
Aqui aplicamos a regra da cadeia. Definimos a função interna u(x)=-x e a externa g(u)=\ln(u). Temos
\frac{du}{dx}=-1, \quad g'(u)=\frac1u.
Logo,
\frac{dy}{dx} =\frac{dg}{du}\cdot\frac{du}{dx} =\frac1{u}\cdot(-1) =\frac{-1}{-x} =\frac1x.

Passo 5

Em ambas as situações x>0 e x<0 chegamos a
\frac{dy}{dx}=\frac1x.
Devemos excluir o ponto x=0, pois \ln\bigl(\lvert x\rvert\bigr) não está definida em x=0.

Resposta

\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(\lvert x\rvert\bigr)\Bigr]=\frac1x,\quad x\neq0.

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