Use a derivada de f(x)=\ln (x) para calcular as derivadas abaixo:
f(x)=\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\ln\!\biggl(\frac{x+1}{x-1}\biggr)
usando o fato de que
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(u(x))\bigr]=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Vamos também usar a propriedade dos logaritmos
\ln\!\biggl(\frac{x+1}{x-1}\biggr)=\ln(x+1)-\ln(x-1),
o que simplifica a diferenciação.

Passo 2

Reescrevendo
f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1).
Agora aplicamos a regra da derivada do logaritmo a cada termo separadamente.

Passo 3

Para o primeiro termo,
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x+1)\bigr]=\frac{1}{x+1}\cdot\frac{d}{dx}(x+1)=\frac{1}{x+1}.
Para o segundo termo,
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x-1)\bigr]=\frac{1}{x-1}\cdot\frac{d}{dx}(x-1)=\frac{1}{x-1}.
Logo,
f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}.

Passo 4

Somamos as frações com o mesmo denominador comum (x+1)(x-1)=x^2-1:
f'(x) =\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}-\frac{x+1}{(x+1)(x-1)} =\frac{(x-1)-(x+1)}{x^2-1} =\frac{x-1-x-1}{x^2-1} =\frac{-2}{x^2-1}.

Resposta

f'(x)=-\frac{2}{x^2-1}.

Exercícios relacionados