Use (7) para determinar os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin para a função dada.
f(z)=tan z

Passo 1

O exercício pede para encontrar os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de f(z)=tan z. O conteúdo envolve séries de potências e precisamos usar as expansões conhecidas de sin z e cos z, além de lembrar que tan z=sin zcos z e aplicar divisão de séries.

Passo 2

Começamos escrevendo as séries de Maclaurin de sin z e cos z:
sin z = z - z^36 + z^5120 + O(z^7)
cos z = 1 - z^22 + z^424 + O(z^6)

Passo 3

Assumimos uma série para tan z do tipo
tan z = A1 z + A3 z^3 + A5 z^5 + O(z^7)
e vamos determinar A1, A3, A5.

Passo 4

Multiplicamos a série de tan z pela de cos z e igualamos à série de sin z:
(1 - tfracz^22 + tfracz^424)(A1 z + A3 z^3 + A5 z^5) = z - tfracz^36 + tfracz^5120 + O(z^7)
Comparando coeficientes:
– Coeficiente de z: A1 = 1.
– Coeficiente de z^3: A3 - tfracA12 = -tfrac16 A3 = tfrac13.
– Coeficiente de z^5: A5 - tfracA32 + tfracA124 = tfrac1120 A5 = tfrac215.

Passo 5

Portanto, os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de tan z são:

Resposta

tan z = z + tfracz^33 + tfrac2z^515 + cdots

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