Use a Desigualdade Triangular para provar que
|z1+z2| >=||z1|-|z2||

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer números complexos z1 e z2, vale a desigualdade C. O conteúdo usado é a desigualdade triangular em : .

Passo 2

Primeiro aplicamos a desigualdade triangular a z1 = (z1 + z2) + (-z2). Assim temos:
|z1| = |(z1 + z2) + (-z2)| <= |z1 + z2| + |-z2| = |z1 + z2| + |z2|
Rearranjando, obtemos
|z1| - |z2| <= |z1 + z2|

Passo 3

De modo análogo, aplicamos a desigualdade triangular a z2 = (z2 + z1) + (-z1). Isso dá:
|z2| = |(z2 + z1) + (-z1)| <= |z2 + z1| + |z1| = |z1 + z2| + |z1|
Rearranjando, vem
|z2| - |z1| <= |z1 + z2|

Passo 4

Agora temos duas desigualdades:
|z1| - |z2| <= |z1 + z2|
e
|z2| - |z1| <= |z1 + z2|
Qualquer que seja a ordem entre |z1| e |z2|, o valor absoluto de sua diferença satisfaz ambas. Logo,
l|,|z1| - |z2|r| <= |z1 + z2|

Passo 5

Esse último passo é exatamente a afirmação pedida: demonstramos que o módulo de z1 + z2 é pelo menos a diferença (em módulo) dos módulos de z1 e z2.

Resposta

|z1 + z2| >= l|,|z1| - |z2|r|.

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