Use a Desigualdade Triangular para provar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer números complexos
e
, vale a desigualdade
. O conteúdo usado é a desigualdade triangular em
:
.
Passo 2
Primeiro aplicamos a desigualdade triangular a
. Assim temos:
Rearranjando, obtemos
Passo 3
De modo análogo, aplicamos a desigualdade triangular a
. Isso dá:
Rearranjando, vem
Passo 4
Agora temos duas desigualdades:
e
Qualquer que seja a ordem entre
e
, o valor absoluto de sua diferença satisfaz ambas. Logo,
Passo 5
Esse último passo é exatamente a afirmação pedida: demonstramos que o módulo de
z1 + z2 é pelo menos a diferença (em módulo) dos módulos de
z1 e
z2 .