Use determinantes para decidir se o conjunto de vetores é linearmente independente.
[l4 6 2],[r-7 0 7],[l-3 -5 -2].

Passo 1

Temos três vetores em R^3:
v1=462,;v2=-707,;v3=-3-5-2
O conteúdo aqui é teste de independência linear em R^3 via determinante: o conjunto v1,v2,v3 é independente se, e somente se, o determinante da matriz formada por esses vetores como colunas for diferente de zero.

Passo 2

Vamos montar a matriz
A=l[v1;v2;v3r] = 4 & -7 & -3 6 & 0 & -5 2 & 7 & -2
e aplicar o critério
v1,v2,v3 é LI Long<=ftrightarrow det(A)neq0 é

Passo 3

Usando a expansão por co-fatores na primeira linha de A, temos
det(A) =4det0 & -57 & -2 -(-7)det6 & -52 & -2 +(-3)det6 & 02 & 7
Calculemos cada menor:
det0 & -57 & -2 =0cdot(-2)-(-5)cdot7=35,
det6 & -52 & -2 =6cdot(-2)-(-5)cdot2=-12+10=-2,
det6 & 02 & 7 =6cdot7-0cdot2=42
Substituindo de volta:
det(A) =4cdot35 ;-;(-7)cdot(-2);+;(-3)cdot42 =140-14-126=0

Passo 4

Como det(A)=0, o critério diz que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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