Use determinantes para decidir se o conjunto de vetores é linearmente independente.
[r7 -4 -6],[r-8 5 7],[r7 0 -5].

Passo 1

O enunciado pede para usarmos determinantes a fim de decidir se três vetores de R^3 são linearmente independentes. A teoria diz que, dados três vetores em R^3, eles formam um sistema linearmente independente se, e somente se, o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas (ou linhas) for diferente de zero.

Passo 2

Vamos montar a matriz A cujas colunas são os vetores dados:
A = 7 & -8 & 7 -4 & 5 & 0 -6 & 7 & -5

Passo 3

Calculamos det(A) expandindo pela primeira linha:
det(A) =7det!5 & 07 & -5 -(-8)det!-4 & 0-6 & -5 +7det!-4 & 5-6 & 7
Os menores são
det!5 & 07 & -5=5cdot(-5)-0cdot7=-25, det!-4 & 0-6 & -5=(-4)cdot(-5)-0cdot(-6)=20,
det!-4 & 5-6 & 7=(-4)cdot7-5cdot(-6)=-28+30=2
Substituindo:
det(A)=7cdot(-25)+8cdot20+7cdot2=-175+160+14=-1

Passo 4

Como det(A)=-1neq0, concluímos que os três vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto de vetores é linearmente independente.

Exercícios relacionados