Use (7) para determinar os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin para a função dada.
f(z)=e^1 /(1+z)

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de f(z)=e^1/(1+z). Vamos usar expansão em torno de z=0 e a propriedade de que a série de Maclaurin de e^w é sumn=0^infty w^n/n!.

Passo 2

Primeiro expandimos tfrac11+z em série de potências:
11+z=1-z+z^2-z^3+O(z^4)
Então escrevemos
f(z)=e^1/(1+z)=e^,1 - z + z^2 - z^3 + cdots=ecdot e^A,
onde definimos A=-z+z^2-z^3+O(z^4).

Passo 3

Agora expandimos e^A=1 + A + tfrac12A^2 + tfrac16A^3 + cdots até ordem z^2. Calculando
A=-z+z^2+O(z^3),
A^2=z^2+O(z^3),
A^3=O(z^3),
obtemos
e^A=1 + (-z+z^2) + tfrac12(z^2)+O(z^3)=1 - z + tfrac32z^2 + O(z^3)
Multiplicando por e, os três primeiros termos não nulos são
f(z)=el(1 - z + tfrac32z^2+dotsr)

Resposta

e - e z + \tfrac{3e}{2} z^2

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