Use o teorema de Green para calcular integralC F d r.
(a) F(x, y)=(e^-x+y^2) i+(e^-y+x^2) j, C consiste no arco da curva y=cos x de (-pi2, 0) a (pi2, 0) e o segmento de reta de (pi2, 0) a (-pi2, 0). GAB: pi2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial F(x, y) = (e^-x + y^2) i + (e^-y + x^2) j ao longo de uma curva fechada . O enunciado nos dá:
E a curva é composta pelo arco da curva de a e pelo segmento de reta de de volta para . Vamos precisar entender o Teorema de Green e aplicar as derivadas parciais necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA com uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula é:
Aqui, . Então, vamos identificar e no nosso caso.

Passo 3

No nosso exercício:
P(x, y) = e^-x + y^2 e Q(x, y) = e^-y + x^2
Precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Calculando partial Qpartial x = partialpartial x(e^-y + x^2) = 0 + 2x = 2x :
partial Ppartial y = partialpartial y(e^-x + y^2) = 0 + 2y = 2y
E calculando :

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Green:
ointC F cdot dr = integral duplaD (2x - 2y) dA
Então, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região .

Passo 6

Vamos descrever a região . A curva é composta pelo arco de a e pelo segmento de reta de a . Então, é a área sob o gráfico de entre esses limites de .

Passo 7

Para configurar a integral dupla, vamos integrar primeiro em integral duplaD (2x - 2y) dA = integral-pi2^pi2 integral0^cos x (2x - 2y) dy , dx de 0 a e depois em de a :

Passo 8

Vamos integrar em integral0^cos x (2x - 2y) dy = 2x integral0^cos x dy - 2 integral0^cos x y , dy primeiro:
= 2x cdot cos x - 2 cdot [y^22]0^cos x
= 2x cos x - (cos^2x - 0) = 2x cos x - cos^2x

Passo 9

Agora, faremos a integral em integral-pi2^pi2 (2x cos x - cos^2x) dx :
2 integral-pi2^pi2 x cos x , dx - integral-pi2^pi2 cos^2x , dx
Vamos separar em duas integrais:

Passo 10

Primeira integral: u = x Rightarrow du = dx
Usamos integração por partes, onde:
dv = cos x , dx Rightarrow v = sin x
integral x cos x , dx = x sin x - integral sin x , dx = x sin x + cos x + C
Então:
[ x sin x + cos x ]-pi2^pi2 = ( pi2 sin pi2 + cos pi2 ) - ( -pi2 sin (-pi2) + cos (-pi2) )
Avaliando de = ( pi2 cdot 1 + 0 ) - ( -pi2 cdot (-1) + 0 ) = pi2 - pi2 = 0 a :
Então, a primeira parte é zero.

Passo 11

Segunda integral: cos^2x = 1 + cos 2x2
Usamos a identidade trigonométrica:
integral-pi2^pi2 cos^2x , dx = 12 integral-pi2^pi2 (1 + cos 2x) , dx
Então:
= 12 [ integral-pi2^pi2 1 , dx + integral-pi2^pi2 cos 2x , dx ]
integral-pi2^pi2 1 , dx = pi
A primeira integral:
integral-pi2^pi2 cos 2x , dx = [ sin 2x2 ]-pi2^pi2 = sin pi2 - sin (-pi)2 = 0 - 0 = 0
A segunda integral:
12 (pi + 0) = pi2
Então:

Passo 12

Agora juntando tudo:
ointC F cdot dr = 0 - pi2 = -pi2
Mas como o enunciado pede o valor absoluto da integral ou considerando a orientação positiva da curva, o resultado final é .

Resposta

A integral vale .

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