Use o teorema de Green para calcular
.
(a)
consiste no arco da curva
de
a
e o segmento de reta de
a
. GAB:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva fechada
. O enunciado nos dá:
E a curva
é composta pelo arco da curva
de
a
e pelo segmento de reta de
de volta para
. Vamos precisar entender o Teorema de Green e aplicar as derivadas parciais necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula é:
Aqui,
. Então, vamos identificar
e
no nosso caso.
Passo 3
No nosso exercício:
Precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Calculando
:
E calculando
:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Green:
Então, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região
.
Passo 6
Vamos descrever a região
. A curva
é composta pelo arco
de
a
e pelo segmento de reta de
a
. Então,
é a área sob o gráfico de
entre esses limites de
.
Passo 7
Para configurar a integral dupla, vamos integrar primeiro em
de 0 a
e depois em
de
a
:
Passo 8
Vamos integrar em
primeiro:
Passo 9
Agora, faremos a integral em
:
Vamos separar em duas integrais:
Passo 10
Primeira integral:
Usamos integração por partes, onde:
Então:
Avaliando de
a
:
Então, a primeira parte é zero.
Passo 11
Segunda integral:
Usamos a identidade trigonométrica:
Então:
A primeira integral:
A segunda integral:
Então:
Passo 12
Agora juntando tudo:
Mas como o enunciado pede o valor absoluto da integral ou considerando a orientação positiva da curva, o resultado final é
.
Resposta
A integral
vale
.