Use diferenciais para estimar os valores de x para os quais raiz[4]x+1- raiz[4]x<0.002.

Passo 1

O enunciado pede para estimar os valores de x tais que
raiz[4]x+1-raiz[4]x<0,002,
usando diferenciais. O conteúdo necessário é a aproximação linear de uma função f em torno de x, isto é,
f(x+De<a x)approx f(x)+f'(x),De<a x

Passo 2

Definimos a função
f(x)=raiz[4]x=x^1/4
Calculamos a derivada ,f'(x) para usar na aproximação:
f'(x)=14,x^-3/4

Passo 3

Tomando De<a x=1, a diferença
raiz[4]x+1-raiz[4]x=f(x+1)-f(x)
é aproximada por
f(x+1)-f(x)approx f'(x)cdot1=14,x^-3/4

Passo 4

Impondo que essa aproximação seja menor que 0,002, temos
14,x^-3/4<0,002
Multiplicando por 4 e invertendo o expoente,
x^-3/4<0,008 Longrightarrow x^3/4>125 Longrightarrow x>125^4/3
Como 125^1/3=5, segue 125^4/3=5^4=625.

Passo 5

Portanto, pela aproximação linear, para x maiores do que cerca de 625 teremos
raiz[4]x+1-raiz[4]x<0,002.

Resposta

Para x>rsim625.

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