Use os dois resultados anteriores e os resultados estudados em sala de aula para estudar os limites das seguintes sequências:
x_{n}=\frac{3^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para estudar o limite da sequência \displaystyle x_{n} = \frac{3^{n}}{n!}.
O conteúdo principal aqui é o critério da razão para sequências: se \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}} = L < 1,
então \lim_{n\to\infty} x_{n} = 0.

Passo 2

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
\frac{x_{n+1}}{x_{n}} = \frac{\frac{3^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\frac{3^{n}}{n!}} = \frac{3^{\,n+1}}{(n+1)!\,}\cdot\frac{n!}{3^{n}} = \frac{3}{n+1}.
Quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{3}{n+1} = 0.

Passo 3

Como a razão \frac{x_{n+1}}{x_{n}} tende a zero (que é menor que 1), isso implica que os termos de x_{n} vão decrescendo rapidamente até se aproximarem de zero. Logo, o limite da sequência é zero.

Resposta

\lim_{n\to\infty} \frac{3^{n}}{n!} = 0.

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