Use os dois resultados anteriores e os resultados estudados em sala de aula para estudar os limites das seguintes sequências: x_{n}=\frac{a^{n}}{n}, a>1 ou a<-1
Passo 1
O enunciado pede para estudar o comportamento da sequência
x_{n}=\frac{a^{n}}{n}
nos casos em que a>1 ou a<-1. O conteúdo envolve comparação de taxas de crescimento (exponencial versus polinomial) e o teste do quociente para sequência.
Passo 2
Vamos aplicar o teste do quociente, que diz que, se
de modo que \lvert x_{n}\rvert\to\infty. Porém, como a^{n} alterna sinal (positivo quando n é par e negativo quando n é ímpar), a sequência não se aproxima de um único valor real ou de +\infty nem de -\infty. Portanto ela diverge sem ter limite finito ou próprio.
Resposta
Para a>1:
\lim_{n\to\infty}x_{n}=+\infty.
Para a<-1:
x_{n} \text{ diverge, com }|x_{n}|\to\infty\text{ e alternância de sinal.}â