Use os dois resultados anteriores e os resultados estudados em sala de aula para estudar os limites das seguintes sequências:
x_{n}=\frac{a^{n}}{n}, a>1 ou a<-1

Passo 1

O enunciado pede para estudar o comportamento da sequência
x_{n}=\frac{a^{n}}{n}
nos casos em que a>1 ou a<-1. O conteúdo envolve comparação de taxas de crescimento (exponencial versus polinomial) e o teste do quociente para sequência.

Passo 2

Vamos aplicar o teste do quociente, que diz que, se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right|
existe e L>1, então \lvert x_{n}\rvert\to\infty. Calculamos
\frac{x_{n+1}}{x_{n}} =\frac{\displaystyle\frac{a^{n+1}}{n+1}}{\displaystyle\frac{a^{n}}{n}} =\;a\;\frac{n}{n+1}\,.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1,
seguem-se
\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=a \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\left|\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right|=|a|.

Passo 3

Caso a>1:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right|=a>1,
logo \lvert x_{n}\rvert\to\infty. Como a^{n}>0 para todo n, concluímos que
\lim_{n\to\infty}x_{n}=+\infty.

Passo 4

Caso a<-1:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right|=|a|>1,
de modo que \lvert x_{n}\rvert\to\infty. Porém, como a^{n} alterna sinal (positivo quando n é par e negativo quando n é ímpar), a sequência não se aproxima de um único valor real ou de +\infty nem de -\infty. Portanto ela diverge sem ter limite finito ou próprio.

Resposta

Para a>1:
\lim_{n\to\infty}x_{n}=+\infty.
Para a<-1:
x_{n} \text{ diverge, com }|x_{n}|\to\infty\text{ e alternância de sinal.}â

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