Use os dois resultados anteriores e os resultados estudados em sala de aula para estudar os limites das seguintes sequências:
x_{n}=\frac{a^{n}}{n!}, \quad a \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para estudar o limite da sequência
x_{n} = \frac{a^{n}}{n!},\quad a\in\mathbb{R}.
O conteúdo principal é limites de sequências, em particular o teste da razão e a propriedade de que, se \lim_{n\to\infty}|x_n|=0, então \lim_{n\to\infty}x_n=0.

Passo 2

Primeiro, note que se a=0 então, para todo n\ge1,
x_n = \frac{0^n}{n!} = 0
e daí imediatamente
\lim_{n\to\infty}x_n = 0.

Passo 3

Agora suponha a\neq0. Vamos aplicar o teste da razão à sequência (|x_n|). Calcule
\frac{|x_{n+1}|}{|x_n|} = \frac{\bigl|a^{\,n+1}\bigr|/(n+1)!}{\bigl|a^n\bigr|/n!} = \frac{|a|}{n+1}.

Passo 4

Observamos que
\lim_{n\to\infty}\frac{|a|}{n+1} = 0 < 1.
Pelo teste da razão, isso implica
\lim_{n\to\infty}|x_n| = 0.

Passo 5

Como \lim_{n\to\infty}|x_n|=0 garante \lim_{n\to\infty}x_n=0, concluímos que, para todo a\in\mathbb{R},
\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!} = 0.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!} = 0.

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