Use os dois resultados anteriores e os resultados estudados em sala de aula para estudar os limites das seguintes sequências:
x_{n}=\frac{a^{n}}{n}, a \in[-1,1].

Passo 1

O enunciado pede que a gente estude \displaystyle \lim_{n\to\infty}x_{n}, onde
x_{n}=\frac{a^{n}}{n},\quad a\in[-1,1].
O conteúdo envolve limites de sequências exponenciais e lineares e o Teorema do Confronto (ou Sandwich) para sequências.

Passo 2

Considere primeiro \lvert a\rvert<1. Nesse caso, sabemos que
\lim_{n\to\infty}a^{n}=0
porque uma base com módulo menor que 1 elevada a n tende a zero. Assim o numerador a^{n} vai a zero enquanto o denominador n cresce para infinito. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{a^{n}}{n} =\frac{0}{\infty} =0.

Passo 3

Agora olhe o caso \lvert a\rvert=1, ou seja, a=1 ou a=-1.
a) Se a=1, então x_{n}=1/n e sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
b) Se a=-1, então x_{n}=(-1)^{n}/n. Usando o Teorema do Confronto, temos
-\,\frac{1}{n}\;\le\;\frac{(-1)^{n}}{n}\;\le\;\frac{1}{n},
e como ambos os limites das extremidades são zero, conclui-se que
\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}=0.

Passo 4

Reunindo os dois casos, para todo a\in[-1,1] — quer \lvert a\rvert<1, quer a=1, quer a=-1 — a sequência satisfaz
\lim_{n\to\infty}x_{n}=0.

Resposta

Para todo a\in[-1,1],
\lim_{n\to\infty}\frac{a^{n}}{n}=0.

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