Use a eliminação sistemática para resolver o sistema dado.
\begin{aligned} \frac{d x}{d t} & =2 x+y+t-2 \\\ \frac{d y}{d t} & =3 x+4 y-4 t\end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de EDOs lineares de primeira ordem não homogêneas:
\frac{dx}{dt}=2x+y+t-2,
\frac{dy}{dt}=3x+4y-4t.
O que vamos usar é eliminação sistemática: isolamos y em função de x e suas derivadas, diferenciamos, substituímos na segunda equação e obtemos uma EDO de segunda ordem só em x.

Passo 2

Da primeira equação isolamos y. Temos
y = \frac{dx}{dt} - 2x - t + 2.

Passo 3

Diferenciando essa expressão em relação a t, obtemos
\frac{dy}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} - 2\frac{dx}{dt} - 1.

Passo 4

Agora igualamos esse \frac{dy}{dt} à expressão da segunda equação:
\frac{d^2x}{dt^2} - 2\frac{dx}{dt} - 1 =3x+4y-4t.
Em seguida substituímos y=\frac{dx}{dt}-2x-t+2 no lado direito.

Passo 5

Fazendo a substituição e rearranjando, chega-se a
\frac{d^2x}{dt^2}-6\frac{dx}{dt}+5x = -8t+9.
Isso é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea para x(t).

Passo 6

Resolvemos a parte homogênea
r^2-6r+5=0
cuja solução dá r=1 e r=5. Logo a solução geral da homogênea é
x_h(t)=C_1e^t + C_2e^{5t}.

Passo 7

Para encontrar uma particular, usamos o ansatz polinomial
x_p(t)=At+B.
Então \frac{dx_p}{dt}=A e \frac{d^2x_p}{dt^2}=0. Substituindo em
0-6A+5(At+B)=-8t+9
e comparando coeficientes de t e termo constante obtemos
5A=-8\implies A=-\frac{8}{5},
-6A+5B=9\implies B=-\frac{3}{25}.

Passo 8

A solução geral de x(t) é a soma da homogênea com a particular:
x(t)=C_1e^t + C_2e^{5t} - \frac{8}{5}\,t - \frac{3}{25}.

Passo 9

Finalmente, voltamos à expressão de y:
y = \frac{dx}{dt}-2x - t + 2.
Calculando \frac{dx}{dt}=C_1e^t+5C_2e^{5t}-\frac{8}{5} e substituindo em y, obtemos
y(t)=-C_1e^t+3C_2e^{5t}+\frac{11}{5}\,t+\frac{16}{25}.

Resposta

\boxed{x(t)=C_1e^t + C_2e^{5t} - \tfrac{8}{5}t - \tfrac{3}{25}, \quad y(t)=-C_1e^t+3C_2e^{5t}+\tfrac{11}{5}t+\tfrac{16}{25}.}

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