Use a eliminação sistemática para resolver o sistema dado.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema de EDOs lineares de primeira ordem não homogêneas:
O que vamos usar é eliminação sistemática: isolamos
em função de
e suas derivadas, diferenciamos, substituímos na segunda equação e obtemos uma EDO de segunda ordem só em
.
Passo 2
Da primeira equação isolamos
. Temos
Passo 3
Diferenciando essa expressão em relação a
, obtemos
Passo 4
Agora igualamos esse
à expressão da segunda equação:
Em seguida substituímos
no lado direito.
Passo 5
Fazendo a substituição e rearranjando, chega-se a
Isso é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea para
.
Passo 6
Resolvemos a parte homogênea
cuja solução dá
e
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 7
Para encontrar uma particular, usamos o ansatz polinomial
Então
e
. Substituindo em
e comparando coeficientes de
e termo constante obtemos
Passo 8
A solução geral de
é a soma da homogênea com a particular:
Passo 9
Finalmente, voltamos à expressão de
:
Calculando
e substituindo em
, obtemos