Use a substituição
para transformar a equação de Cauchy-Euler dada em uma equação com coeficientes cosntantes e resolva.
Passo 1
O enunciado é a equação de Cauchy–Euler
e pede para usarmos a substituição
(logo
) para transformá-la numa EDO com coeficientes constantes e resolvê-la.
Passo 2
Definimos
Pelo efeito da cadeia, temos
onde o prime em
indica derivada em relação a
.
Passo 3
Substituindo em
, obtemos
ou seja
Passo 4
A equação homogênea associada é
com equação característica
logo
ou
. Assim
Passo 5
Procuramos um particular
do tipo polinomial em
, digamos
Então
e
. Substituindo em
, vem
Igualando coeficientes de
e constantes:
Logo
Passo 6
A solução geral em
é
Voltando a
, temos
,
e
. Então
Resposta
A solução geral é