Use a eliminação sistemática para resolver o sistema dado. \frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}=2 x+2 y+1\frac{d x}{d t}+2 \frac{d y}{d t}=y+3
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais de primeira ordem
\frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} = 2x + 2y + 1,
\frac{dx}{dt} + 2\frac{dy}{dt} = y + 3.
O conteúdo é resolução de sistema linear de ODEs com termos constantes, e vamos usar eliminação algébrica para expressar \tfrac{dx}{dt} e \tfrac{dy}{dt} em função de x e y, transformando o problema num sistema padrão \mathbf X' = A\mathbf X + \mathbf b.
Passo 2
Definimos
u = \frac{dx}{dt},\quad v = \frac{dy}{dt},
de modo que o sistema vira
u + v = 2x + 2y + 1,
u + 2v = y + 3.
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos
v = -2x - y + 2,
logo
\frac{dy}{dt} = -2x - y + 2.
Substituindo v na primeira equação, decorre
u = 2x + 2y + 1 - v = 4x + 3y - 1,
ou seja
\frac{dx}{dt} = 4x + 3y - 1.
Passo 3
Escrevendo em forma matricial \mathbf X = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, temos
\mathbf X' = A\mathbf X + \mathbf b,
onde
A = \begin{pmatrix}4 & 3 \\\\ -2 & -1\end{pmatrix},\quad \mathbf b = \begin{pmatrix}-1 \\\\ 2\end{pmatrix}.
Agora resolvemos primeiro o sistema homogêneo \mathbf X' = A\mathbf X e depois achamos uma solução particular constante.
Passo 4
Para o homogêneo, calculamos os autovalores de A pela equação