Use a eliminação sistemática para resolver o sistema dado.
\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}=2 x+2 y+1 \frac{d x}{d t}+2 \frac{d y}{d t}=y+3

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais de primeira ordem
\frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} = 2x + 2y + 1,
\frac{dx}{dt} + 2\frac{dy}{dt} = y + 3.
O conteúdo é resolução de sistema linear de ODEs com termos constantes, e vamos usar eliminação algébrica para expressar \tfrac{dx}{dt} e \tfrac{dy}{dt} em função de x e y, transformando o problema num sistema padrão \mathbf X' = A\mathbf X + \mathbf b.

Passo 2

Definimos
u = \frac{dx}{dt},\quad v = \frac{dy}{dt},
de modo que o sistema vira
u + v = 2x + 2y + 1,
u + 2v = y + 3.
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos
v = -2x - y + 2,
logo
\frac{dy}{dt} = -2x - y + 2.
Substituindo v na primeira equação, decorre
u = 2x + 2y + 1 - v = 4x + 3y - 1,
ou seja
\frac{dx}{dt} = 4x + 3y - 1.

Passo 3

Escrevendo em forma matricial \mathbf X = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, temos
\mathbf X' = A\mathbf X + \mathbf b,
onde
A = \begin{pmatrix}4 & 3 \\\\ -2 & -1\end{pmatrix},\quad \mathbf b = \begin{pmatrix}-1 \\\\ 2\end{pmatrix}.
Agora resolvemos primeiro o sistema homogêneo \mathbf X' = A\mathbf X e depois achamos uma solução particular constante.

Passo 4

Para o homogêneo, calculamos os autovalores de A pela equação
\det(A-\lambda I)=0\;\Rightarrow\;\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0,
cuja solução é \lambda_1=1, \lambda_2=2.
Autovetor associado a \lambda_1=1:
(A - I)v=0\;\Rightarrow\;v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
Autovetor associado a \lambda_2=2:
(A - 2I)v=0\;\Rightarrow\;v_2 = \begin{pmatrix}-3\\\ 2\end{pmatrix}.
Logo a solução geral homogênea é
\mathbf X_h(t) = C_1 \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}e^{t} \;+\; C_2 \begin{pmatrix}-3\\\ 2\end{pmatrix}e^{2t}.

Passo 5

Procuramos solução particular constante \mathbf X_p=(x_p,y_p)^T tal que 0 = A\mathbf X_p + \mathbf b, i.e.
\begin{pmatrix}4 & 3 \\\\ -2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_p\y_p\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}.
Da segunda linha vem 2x_p + y_p = 2\Rightarrow y_p=2-2x_p. Substituindo na primeira, 4x_p+3(2-2x_p)=1\Rightarrow x_p=5/2, y_p=-3. Assim
\mathbf X_p = \begin{pmatrix}5/2\\\ -3\end{pmatrix}.

Passo 6

A solução geral do sistema é a soma das partes homogênea e particular:
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5/2\\\ -3\end{pmatrix} + C_1 \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}e^{t} + C_2 \begin{pmatrix}-3\\\ 2\end{pmatrix}e^{2t}.

Resposta

x(t) = \frac{5}{2} + C_1 e^{t} - 3\,C_2 e^{2t},\qquad y(t) = -3 - C_1 e^{t} + 2\,C_2 e^{2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias definidas pelas condições iniciais.

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