Use a equação de definição da transformada de Fourier contínua e de tempo discreto, para calcular as transformadas de Fourier diretas ou inversas dos sinais abaixo:
x[n]=(12)^n-1 u[n-1]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier em tempo discreto de
x[n]=l(tfrac12r)^n-1u[n-1]
O conteúdo que vamos usar é a definição da DTFT (Transformada de Fourier de tempo discreto):
X(e^jomega)=sumn=-infty^inftyx[n],e^-jomega n

Passo 2

Substituímos x[n] na definição. Como u[n-1]=0 para n<1 e vale 1 para n>=1, o somatório fica
X(e^jomega) =sumn=1^inftyl(tfrac12r)^n-1e^-jomega n

Passo 3

Para simplificar a soma, definimos k=n-1. Quando n=1, k=0; quando ntoinfty, ktoinfty. Além disso n=k+1, então
X(e^jomega) =sumk=0^inftyl(tfrac12r)^ke^-jomega(k+1) =e^-jomegasumk=0^inftyl(tfrac12e^-jomegar)^k

Passo 4

Reconhecemos uma série geométrica de razão r=tfrac12e^-jomega. Como lvert rrvert=tfrac12<1, ela converge e
sumk=0^inftyr^k=11-r Longrightarrow sumk=0^inftyl(tfrac12e^-jomegar)^k =11-tfrac12e^-jomega

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
X(e^jomega) =e^-jomega1-tfrac12e^-jomega =2,e^-jomega2-e^-jomega,
válido para todo omega (já que lverttfrac12e^-jomegarvert<1 sempre).

Resposta

X(e^jomega) =e^-jomega1-tfrac12e^-jomega =2,e^-jomega2-e^-jomega

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