Use a equação de definição da transformada de Fourier contínua e de tempo discreto, para calcular as transformadas de Fourier diretas ou inversas dos sinais abaixo:
X(j omega)=e^-|omega|

Passo 1

O enunciado nos dá X(jomega)=e^-|omega| e pede para encontrar o sinal x(t) cuja transformada de Fourier direta é X(jomega). Isso é um caso de transformada inversa contínua, onde usaremos a definição
x(t)=12piintegral-infty^inftyX(jomega),e^jomega t,domega

Passo 2

Substituímos X(jomega)=e^-|omega| na fórmula da transformada inversa e escrevemos a integral dividindo em omega>=0 e omega<0:
x(t)=12piintegral-infty^inftye^-|omega|e^jomega tdomega =12pil[integral0^inftye^-omegae^jomega tdomega+integral0^inftye^-omegae^-jomega tdomegar]

Passo 3

Cada uma das integrais é uma exponencial complexa amortecida. Para Re1pm j t>0 vale
integral0^inftye^-omega(1mp j t)domega =11mp j t
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integral0^inftye^-omegae^jomega tdomega=11-j t, integral0^inftye^-omegae^-jomega tdomega=11+j t

Passo 4

Somando as duas parcelas obtemos
integral-infty^inftye^-|omega|e^jomega tdomega =11-j t+11+j t =(1+j t)+(1-j t)1+t^2 =21+t^2
Finalmente, aplicando o fator 1/(2pi), resulta
x(t)=12picdot21+t^2 =1pi,(1+t^2)

Resposta

x(t)=1pi,(1+t^2)

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