Verifique quais matrizes são diagonalizáveis. Para as que são diagonalizáveis, encontre a matriz diagonal.
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 1 & -1 & 0 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}
é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar a matriz diagonal associada. O conteúdo envolve cálculo do polinômio característico, autovalores e critério de diagonalizabilidade (autovalores distintos garantem diagonalização).

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico \det(A - \lambda I). Primeiro escrevemos
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 0\\\\ 1 & -1-\lambda& 0\\\\ 2 & 1 & -1-\lambda \end{pmatrix}.
Aplicando expansão pela primeira linha:
\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & 0\\\\ -6pt 1 & -1-\lambda\end{pmatrix} - 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\\\ -6pt 2 & -1-\lambda\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculemos cada termo:
\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & 0\\\ 1 & -1-\lambda\end{pmatrix} =(-1-\lambda)^2,
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 2 & -1-\lambda\end{pmatrix} =1\cdot(-1-\lambda)=-(1+\lambda).
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\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)(-1-\lambda)^2 - \bigl[-(1+\lambda)\bigr] = (1-\lambda)(\lambda+1)^2 + (1+\lambda).
Desenvolvendo (1-\lambda)(\lambda+1)^2 = -\lambda^3 - \lambda^2 + \lambda +1 e somando 1+\lambda obtemos
\det(A-\lambda I) = -\lambda^3 - \lambda^2 + 2\lambda +2 = -(\lambda+1)(\lambda^2 -2).

Passo 4

As raízes de \det(A-\lambda I)=0 são
\lambda+1=0\;\Rightarrow\;\lambda=-1, \quad \lambda^2-2=0\;\Rightarrow\;\lambda=\pm\sqrt{2}.
Como os três autovalores -1,\sqrt{2},-\sqrt{2} são distintos, concluímos que A é diagonalizável.

Passo 5

A matriz diagonal D contendo esses autovalores na diagonal é, escolhendo a ordem -1,\sqrt{2},-\sqrt{2}:
D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 0 & \sqrt{2} & 0\\\\ 0 & 0 & -\sqrt{2} \end{pmatrix}.

Resposta

A é diagonalizável e a matriz diagonal correspondente é
D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 0 & \sqrt{2} & 0\\\\ 0 & 0 & -\sqrt{2} \end{pmatrix}.

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