Use escalonamento para classificar (quanto a S I, S P D ou S P I ), os sistemas abaixo e apresente o conjunto solução quando existir:
\left\{\begin{array}{l}x+y=3 \\\\ 3 x+2 y=1 \\\\ -y-\frac{2}{3} y=-\frac{1}{3}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique, por escalonamento, o sistema quanto a S I, S P D\) ou \(S P I\) e que apresente o conjunto‑solução quando existir. O sistema fornecido é: \[\begin{cases} x+y=3\\[4pt] 3x+2y=1\\[4pt] -y-\dfrac{2}{3}y=-\dfrac{1}{3} \end{cases}
Informações relevantes dadas: as três equações acima (três equações e duas incógnitas x\] e \(y). A tarefa é usar escalonamento (eliminação por linhas) para decidir se o sistema é:
  • S I (sistema impossível, sem solução),
  • S P D (sistema possível e determinado, solução única), ou
  • S P I (sistema possível e indeterminado, infinitas soluções).
    Também devo mostrar o conjunto solução caso exista.]

Passo 2

Primeiro simplifico a terceira equação, juntando termos semelhantes em y. Parto de
-y-\dfrac{2}{3}y=-\dfrac{1}{3}.
Somando os coeficientes de y:
-y-\dfrac{2}{3}y = -\left(1+\dfrac{2}{3}\right)y = -\dfrac{5}{3}y.
Portanto a terceira equação é equivalente a
-\dfrac{5}{3}y=-\dfrac{1}{3}.

Passo 3

Agora escrevo a matriz aumentada do sistema (coeficientes de x, y e a coluna dos termos constantes). Das equações:
\begin{cases} x+y=3 &\longrightarrow\; (1,\;1\;|\;3)\\[4pt] 3x+2y=1 &\longrightarrow\; (3,\;2\;|\;1)\\[4pt] -\dfrac{5}{3}y=-\dfrac{1}{3} &\longrightarrow\; (0,\;-\tfrac{5}{3}\;|\;-\tfrac{1}{3}) \end{cases}
A matriz aumentada fica
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 3\\[4pt] 3 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -\tfrac{5}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{array}\right).]

Passo 4

Rápida explicação do método que vou usar: no escalonamento aplico operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até obter uma forma triangular/escada. Se surgir uma linha do tipo [0\\\ 0\;|\;c] com c\neq0, isso representa a contradição 0=c e o sistema é impossível ( S I). Se não houver contradição e todas as incógnitas puderem ser resolvidas de forma única, é S P D. Se houver graus de liberdade (linhas dependentes) e nenhuma contradição, é S P I.

Passo 5

Faço eliminação para zerar o elemento abaixo do pivô 1 na coluna de x. Uso a operação L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1. Calculando componente a componente:
  • Nova segunda linha, coeficiente de x: 3-3\cdot1=0.
  • Coeficiente de y: 2-3\cdot1=-1.
  • Termo constante: 1-3\cdot3=1-9=-8.
Assim a matriz fica
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & -1 & -8\\[4pt] 0 & -\tfrac{5}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{array}\right).]

Passo 6

Agora elimino usando a segunda linha para comparar com a terceira. Uma maneira é eliminar a coluna de y da terceira combinando linhas. Tomo L_3 \leftarrow L_3 - \left(\tfrac{5}{3}\right)L_2. Primeiro observo L_2=(0,\,-1\,|\, -8), então \left(\tfrac{5}{3}\right)L_2=(0,\,-\tfrac{5}{3}\,|\,-\tfrac{40}{3}). Agora faço a soma:
  • Coeficiente de x: 0-0=0.
  • Coeficiente de y: -\tfrac{5}{3}-\big(-\tfrac{5}{3}\big)=0.
  • Termo constante: -\tfrac{1}{3}-\big(-\tfrac{40}{3}\big)=-\tfrac{1}{3}+\tfrac{40}{3}=\tfrac{39}{3}=13.
A nova terceira linha é (0,\;0\;|\;13). A matriz fica
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & -1 & -8\\[4pt] 0 & 0 & 13 \end{array}\right).]

Passo 7

A linha (0,\;0\;|\;13) representa a equação 0=13, que é impossível. Isso significa que, pelas operações elementares (que preservam solução), chegamos a uma contradição: o sistema não tem solução. Pelo critério de escalonamento, quando surge uma linha do tipo [0\\\ 0\;|\;c] com c\neq0, o sistema é incompatível. Em termos de posto (ranks): o posto da matriz dos coeficientes é menor que o posto da matriz aumentada, logo não há solução.

Resposta

SI
\varnothing

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