Use escalonamento para classificar (quanto a S I, S P D ou S P I ), os sistemas abaixo e apresente o conjunto solução quando existir: \left(\begin{array}{ccc}5 & 4 & 3 \\\\ -1 & -1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right)
e pede para, usando escalonamento, classificar o sistema linear associado quanto a SI (sistema impossível), SPD (sistema possível determinado) ou SPI (sistema possível indeterminado) e apresentar o conjunto solução quando existir.\n
Informações relevantes:
Temos uma matriz 3\times3, que representa um sistema de 3 equações lineares com 3 incógnitas.
O enunciado não fornece um vetor de termos independentes explícito \mathbf{b}; portanto vamos considerar o sistema geral A\mathbf{x}=\mathbf{b} (para qualquer \mathbf{b}\in\mathbb{R}^3) e, como caso particular, o homogêneo \mathbf{b}=\mathbf{0}.
A estratégia pedida é “escalonamento” (eliminação de Gauss) para determinar posto/rank e, assim, a classificação e, quando possível, obter a solução.
Passo 2
Rápida lembrança didática sobre escalonamento e classificação:
Escalonamento (eliminação de Gauss) transforma a matriz em forma triangular superior usando operações do tipo “somar múltiplos de uma linha a outra”. Essas operações não mudam o conjunto de soluções e não alteram o determinante quando são do tipo “linha ← linha + c·outra linha”.
Se a matriz de coeficientes A tiver posto 3 (ou seja, posto igual ao número de incógnitas), então para qualquer \mathbf{b} existe exatamente uma solução — classificamos como SPD.
Se o posto de A for menor que o número de incógnitas, teremos infinitas soluções (SPI) se o posto da matriz aumentada for igual ao posto de A; ou nenhuma solução (SI) se o posto da matriz aumentada for maior que o posto de A.
Como trabalho prático faremos escalonamento de A para obter pivôs e, em seguida, aplicaremos as mesmas operações a um vetor geral \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)^T para expressar a solução em função de \mathbf{b}.
Os pivôs (elementos da diagonal na forma triangular) são 5, -\tfrac{1}{5} e 6. Todas as três entradas são diferentes de zero.
Como usamos apenas operações do tipo “linha ← linha + c·outra linha”, o determinante de A não foi alterado durante o escalonamento e pode ser obtido pelo produto dos pivôs:\det(A)=5\cdot\bigl(-\tfrac{1}{5}\bigr)\cdot 6 = -6 \neq 0.
Determinante não nulo implica que A é invertível e o posto \operatorname{rank}(A)=3 (posto máximo). Portanto, para qualquer vetor \mathbf{b} o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} tem exatamente uma solução. Conclusão: o sistema é SPD (sistema possível determinado).
Passo 5
Agora vamos obter explicitamente a solução em função de um vetor geral [\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)^T). Aplicamos as mesmas operações de linha ao lado direito (ao vetor \mathbf{b}).
Da segunda (multiplicando por (5] para facilitar): -x_2 + 3x_3 = 5b_2' = 5\Bigl(b_2+\tfrac{1}{5}b_1\Bigr)=5b_2 + b_1,
logo x_2 = 3x_3 - (5b_2 + b_1) = \tfrac{1}{2}\bigl(-b_1 -4b_2 + b_3\bigr).
(fazendo as substituições e simplificações chegamos a esta forma.)