Use escalonamento para classificar (quanto a S I, S P D ou S P I ), os sistemas abaixo e apresente o conjunto solução quando existir: \left\{\begin{array}{l}3 x-y=7 \\\\ 2 x+3 y=-10 \\\\ 2 x-y=6\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: classificar o sistema quanto a S I\) (sistema impossível), \(S P D\) (sistema possível e determinado) ou \(S P I\) (sistema possível e indeterminado) e, quando existir, apresentar o conjunto solução. As equações fornecidas são:
\[\begin{cases} 3x - y = 7,\\[4pt] 2x + 3y = -10,\\[4pt] 2x - y = 6. \end{cases}
As incógnitas são x\] e \(y. Não se resolvem ainda aqui; apenas identifiquei o que é pedido e escrevi as equações dadas.]
Passo 2
Transformamos o sistema numa matriz aumentada para aplicar o escalonamento (isso organiza as equações como linhas e os coeficientes como colunas). A matriz aumentada correspondente é
Explicando: cada linha representa uma equação; as duas primeiras colunas são os coeficientes de x e y e a coluna após a barra é o termo independente.]
Passo 3
Breve explicação do que faremos com o escalonamento: usaremos operações elementares por linhas — trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra — para obter uma forma escalonada (triangular) que facilita achar as incógnitas. Vou escolher combinações de linhas que evitem frações no meio do caminho, fazendo multiplicações judiciosas.
Passo 4
Eliminamos os elementos da coluna de x abaixo da primeira linha. Para evitar frações, faço combinações inteiras:
Faço R_2 \leftarrow 3R_2 - 2R_1. Calculando termo a termo:
Agora queremos zerar o elemento na terceira linha, segunda coluna (o -1 embaixo de 11). Novamente uso combinação inteira: faço R_3 \leftarrow 11R_3 + R_2. Calculando:
Isso já é uma forma escalonada (há uma linha nula na terceira linha), e indica que a terceira equação era linearmente dependente das duas primeiras.]
Passo 6
Interpreto a matriz escalonada como sistema de equações:
da segunda linha temos \;11y = -44.
Da primeira linha temos \;3x - y = 7.
A terceira linha é 0=0, não traz nova informação.
Passo 7
Resolvo a equação da segunda linha para y. Dividindo ambos os lados por 11:
y = \frac{-44}{11} = -4.
Expliquei: para isolar y basta dividir o coeficiente independente pelo coeficiente de y.
Passo 8
Faço substituição (retro-substituição) na primeira equação para encontrar x. A primeira equação é 3x - y = 7. Substituindo y=-4:
3x - (-4) = 7 \quad\Rightarrow\quad 3x + 4 = 7.
Subtraindo 4 de ambos os lados:
3x = 3.
Dividindo por 3:
x = 1.
Passo 9
Verifico rapidamente a terceira equação original 2x - y = 6 para confirmar consistência:
substituindo x=1 e y=-4 obtemos 2\cdot 1 - (-4) = 2 + 4 = 6, que é verdadeiro. Logo não há contradição.
Passo 10
Conclusão sobre a classificação: o posto (rank) da matriz dos coeficientes é 2 (as duas primeiras linhas independentes) e o número de incógnitas é também 2. Não apareceu uma linha com 0 = número não nulo, então o sistema é possível e determinado (S P D), ou seja, tem exatamente uma solução.