Use as estratégias das integrais trigonométricas e indique qual substituição deve ser feita para mostrar como se calcula as integrais abaixo:
integral sen^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de sin^4x usando estratégias de integrais trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar das identidades trigonométricas que ajudam a simplificar potências pares de seno e cosseno, além de fazer algumas substituições para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever sin^4x utilizando a identidade trigonométrica que reduz potências pares de seno. Sabemos que:
sin^2x = 1 - cos(2x)2
Então, podemos escrever sin^4x como:
sin^4x = (sin^2x)^2 = (1 - cos(2x)2)^2

Passo 3

Agora, vamos expandir o quadrado:
(1 - cos(2x)2)^2 = 14 (1 - 2cos(2x) + cos^2(2x))

Passo 4

A integral que queremos calcular fica assim:
integral sin^4x , dx = 14 integral (1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)) , dx
Para integrar cos^2(2x), usamos outra identidade de redução de potência:
cos^2a = 1 + cos(2a)2
Aplicando isso a cos^2(2x):
cos^2(2x) = 1 + cos(4x)2

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
14 integral (1 - 2cos(2x) + 1 + cos(4x)2) dx
Vamos simplificar dentro da integral:
14 integral (32 - 2cos(2x) + cos(4x)2) dx

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
14 ( 32x - sin(2x) + sin(4x)8 ) + C
Simplificando os coeficientes:
38x - 14sin(2x) + 132sin(4x) + C

Resposta

A integral de sin^4x , dx é:
38x - 14sin(2x) + 132sin(4x) + C

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