Use o fato de que um vetor w, no espaço tangente a uma superfície regular, pode ser escrito da base associada Xu, Xv de uma parametrização X, da forma w = AXu+BXv para calcular a primeira forma fundamental da superfície regular: X(u, v)=(a u cos v ; b u sin v ; u^2) paraboloide elíptico

Passo 1

O enunciado pede para obter a primeira forma fundamental da superfície regular
X(u,v)=l(a,ucos v,;b,usin v,;u^2r),
isto é, a expressão
I = E,du^2 + 2F,du,dv + G,dv^2,
onde, usando a base tangente Xu,Xv, temos
E = lang<= Xu,Xurang<=, F = lang<= Xu,Xvrang<=, G = lang<= Xv,Xvrang<=
Vamos calcular passo a passo essas quantidades.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de X:
Xu(u,v) = l(acos v,;bsin v,;2ur),
Xv(u,v) = l(-a,usin v,;b,ucos v,;0r)

Passo 3

Calcular
E = lang<= Xu,Xurang<= = (acos v)^2 + (bsin v)^2 + (2u)^2
Portanto
E = a^2cos^2v ;+; b^2sin^2v ;+; 4u^2

Passo 4

Calcular
F = lang<= Xu,Xvrang<= = acos vl(-a,usin vr) ;+; bsin v,(b,ucos v) ;+; 2ucdot 0
Logo
F = -a^2ucos vsin v ;+; b^2usin vcos v = (b^2-a^2),u,sin vcos v

Passo 5

Calcular
G = lang<= Xv,Xvrang<= = (-a,usin v)^2 + (b,ucos v)^2 + 0^2
Assim
G = a^2u^2sin^2v ;+; b^2u^2cos^2v = u^2l(a^2sin^2v + b^2cos^2vr)

Resposta

A primeira forma fundamental é
I = l(a^2cos^2v + b^2sin^2v + 4u^2r),du^2 + 2,(b^2-a^2),u,sin vcos v ;du,dv + u^2l(a^2sin^2v + b^2cos^2vr),dv^2

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