Use o polinômio de Taylor de ordem 2 e a fórmula de Taylor com resto de Lagrange para calcular um valor aproximado para cada um dos números abaixo, estimando o erro:
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
usando o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de zero e estimar o erro via resto de Lagrange. O conteúdo envolve a expansão em série de Taylor de
e a fórmula do resto.
Passo 2
A função
tem expansão em Taylor no ponto zero dada por
O polinômio de ordem 2 é obtido truncando depois do termo
:
Agora avaliamos em
:
Passo 3
Para estimar o erro usamos o resto de Lagrange de ordem 2. A fórmula geral é
para algum
entre 0 e
. Como
, temos
Como
é crescente para
, tomamos
. Então
Passo 4
Logo, a aproximação final é
com erro estimado menor que
.