Use o polinômio de Taylor de ordem 2 e a fórmula de Taylor com resto de Lagrange para calcular um valor aproximado para cada um dos números abaixo, estimando o erro:
cosh (-0,1)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar cosh(-0.1) usando o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de zero e estimar o erro via resto de Lagrange. O conteúdo envolve a expansão em série de Taylor de cosh x e a fórmula do resto.

Passo 2

A função f(x)=cosh x tem expansão em Taylor no ponto zero dada por
cosh x = 1 + x^22! + x^44! + cdots
O polinômio de ordem 2 é obtido truncando depois do termo x^2:
P2(x) = 1 + x^22
Agora avaliamos em x=-0.1:
P2(-0.1) = 1 + (-0.1)^22 = 1 + 0.012 = 1.005

Passo 3

Para estimar o erro usamos o resto de Lagrange de ordem 2. A fórmula geral é
R2(x) = f^(3)(xi)3!,x^3
para algum xi entre 0 e x. Como f^(3)(x)=sinh x, temos
|R2(-0.1)| <= max|xi|<=0.1|sinh(xi)|6,|-0.1|^3
Como sinh x é crescente para x>=0, tomamos M=sinh(0.1)approx0.10017. Então
|R2(-0.1)| <= 0.10017,(0.1)^36 approx 1.67times10^-5

Passo 4

Logo, a aproximação final é cosh(-0.1)approx1.005 com erro estimado menor que 1.7times10^-5.

Resposta

cosh(-0.1)approx1.005, com erro estimado <=1.7times10^-5.

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