Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
\int_{0}^{4}\left(6-x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{4}(6 - x^{2})\,dx
usando a definição de integral pelo Teorema 4 (soma de Riemann). Vamos particionar o intervalo, escrever a soma de Riemann e tirar o limite conforme n\to\infty.

Passo 2

Particionamos [0,4] em n subintervalos de largura uniforme
\Delta x = \frac{4}{n},
e escolhemos como ponto em cada subintervalo o extremo direito
x_{i} = 0 + i\,\Delta x = \frac{4i}{n},
para i=1,2,\dots,n.

Passo 3

A soma de Riemann associada é
S_{n} \;=\;\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\,\Delta x \;=\;\sum_{i=1}^{n}\Bigl(6 - x_{i}^{2}\Bigr)\,\frac{4}{n} \;=\;\sum_{i=1}^{n}\Bigl(6 - \bigl(\tfrac{4i}{n}\bigr)^{2}\Bigr)\frac{4}{n}.
Separamos em duas somas:
S_{n} = \frac{4}{n}\sum_{i=1}^{n}6 \;-\;\frac{4}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{16\,i^{2}}{n^{2}} = \frac{24}{n}\sum_{i=1}^{n}1 \;-\;\frac{64}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n}i^{2}.

Passo 4

Usamos as fórmulas de soma:
\sum_{i=1}^{n}1 = n, \qquad \sum_{i=1}^{n}i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
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S_{n} = \frac{24}{n}\,n \;-\;\frac{64}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =24 \;-\;\frac{64\bigl(2n^{3}+3n^{2}+n\bigr)}{6\,n^{3}}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}S_{n} =24 \;-\;\frac{64\cdot2}{6} =24 - \frac{128}{6} =24 - \frac{64}{3} =\frac{72-64}{3} =\frac{8}{3}.

Resposta

\int_{0}^{4}(6 - x^{2})\,dx = \frac{8}{3}.

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