Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
\int_{0}^{3}(5 x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \int_{0}^{3}(5x+2)\,dx usando a definição de integral dada no Teorema 4, ou seja, como limite de somas de Riemann.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,3] em n subintervalos de comprimento
\Delta x = \frac{3}{n}
e escolhemos como ponto de amostragem o extremo direito de cada subintervalo,
x_i = i\,\Delta x = \frac{3i}{n}.
A soma de Riemann correspondente é
S_n = \sum_{i=1}^{n} \bigl(5x_i + 2\bigr)\,\Delta x.

Passo 3

Substituindo x_i e \Delta x em S_n:
S_n = \sum_{i=1}^{n} \Bigl(5\frac{3i}{n} + 2\Bigr)\frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} \Bigl(\frac{45i}{n^2} + \frac{6}{n}\Bigr) = \frac{45}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i + \frac{6}{n}\sum_{i=1}^{n}1.
Como \sum_{i=1}^{n}i = \tfrac{n(n+1)}{2} e \sum_{i=1}^{n}1 = n, segue
S_n = \frac{45}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} + \frac{6n}{n} = \frac{45(n+1)}{2n} + 6.

Passo 4

Aplicando o limite n\to\infty para obter a integral:
\int_{0}^{3}(5x+2)\,dx = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty}\!\Bigl(\frac{45(n+1)}{2n}+6\Bigr) = \frac{45}{2} + 6 = \frac{57}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{57}{2}

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